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1、-1-,第二节 向量的坐标表示,一 空间直角坐标系二 向量在轴上的投影三 向量的坐标表示,-2-,一 空间直角坐标系,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广,-3-,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,-4-,空间的点,有序数组,-5-,特殊点的表示:,轴上的点,轴上的点,轴上的点,面上的点,面上的点,面上的点,坐标原点,-6-,2 空间两点间的距离,设,为空间两点,在直角,使用勾股定理知,-7-,解,结论成立.,例1 求证以,顶点的三角形是一个等腰三角形.,三点为,-8-,解,所求点为,例2 设,在,轴上，它到,到点,
2、的距离的两倍，求点,的坐标.,的距离为,-9-,二 向量在轴上的投影与投影定理,-10-,空间两向量的夹角的概念：,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,空间一点在轴上的投影,-11-,空间一向量在轴上的投影,向量的投影定理（1）,即,-12-,证,且,又因为,所以,定理1的说明：,投影为正；,投影为负；,投影为零；,(4)相等向量在同一轴上投影相等；,-13-,向量的投影定理（2）,（可推广到有限多个）,-14-,1 向量的坐标表示式,三 向量的坐标,设向量,则,由于,所以,-15-,称向量的这种表示法为按基本
3、单位向量的坐标分解式。,称向量的这种表示法为向量的坐标表达式。,则,-16-,2 向量的模与方向余弦的坐标表示式,设向量,则,所以,-17-,由投影定理（1）,同理,-18-,时，,当,-19-,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,-20-,2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式,设,所以,同理,-21-,例3 设,和,为两已知点，,直线上的点,分有向线段,为两部分,使它们的值的比等于某数,即,而在,解,则,所以,-22-,解,-23-,所以所求点为,-24-,解,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,例4 求平行于向量,的单位向量,的坐标分解式.,-25-,例5 设有向量,已知,它与,轴和,轴的夹角分别为,和,如果,的坐标为,求,的坐标.,解,-26-,的坐标为,由于,所以,-27-,例6 设,求向量,在,轴,轴上的分向量.,上的投影及在,解,-28-,向量,在轴,上的投影等于向量的模乘以轴与向,量的夹角,的余弦，,即,向量的投影定理（1）,
