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1、第2章 控制系统状态空间表达式的解,2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解,2.6 线性离散系统状态方程的解,2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法,2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解,2.4 线性时变连续系统状态方程的解,2.5 线性连续系统状态方程的离散化,2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解,2.1.1 齐次状态方程的解,u=0,1、直接求解,设 n=1,解为x(t)=eatx0,且eat=1+at+a2t2/2！+,对于 n阶，,解为X(t)=eAtX0,eAt=I+At+A2t2/2！+,矩阵指数函数,证明：,设X(t)解的形式为,X(t)=b0+b1t+b2t
2、2+bktk+,代入状态方程,b1+2b2t+3b3t2+kbktk1+=A(b0+b1t+b2t2+bktk+),b1=A b0,2.1.1 齐次状态方程的解,b1=A b0,令t=0，X(t)=b0+b1t+b2t2+bktk+，X(0)=b0=X0,将上述结果代入X(t),X(t)=(I+At+A2t2/2！+)X0=eAtX0,若t00，则 X(t)=eA（tt0)X(t0),2、拉氏变换法求解,SX(S)X(0)=AX(S),(SIA)X(S)=X0,X(S)=(SIA)1X0,对上式取拉氏反变换,X(t)=L1(SIA)1X0=eAtX0,X(t)=eAtX0,2.1.1 齐次状态
3、方程的解,记为:(t)=eAt(tt0)=eA（tt0),状态方程解：X(t)=(t)X0 X(t)=(tt0)X(t0),状态转移曲线,2.1.2 状态转移矩阵,状态转移矩阵满足的条件：,(0)=I,eAt=L1(SIA)1,X(t)=eA（tt0)X(t0),状态转移矩阵：eA（tt0)或eAt,2.1.2 状态转移矩阵,1、状态转移矩阵的性质：设t0=0,（1）(0)=I,根据定义得证,eAt=I+At+A2t2/2！+,证明：根据定义,(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+,=A(I+At+Ak1tk1/(k1)！+),=A(t)=(t)A,（3）(t1+t2)=(t1)(t2),
4、证明:,(t1+t2)=eA(t1+t2)=I+A(t1+t2)+A2(t1+t2)2/2！+,=(I+At1+A2t12/2！+)(I+At2+A2t22/2！+),=(t1)(t2),（4）(t)1=(t),证明：由,（3）(t1+t2)=(t1)(t2),证明:,得(tt)=(t)(t)=I,（1）(0)=I,(t+t)=(t)(t)=I,所以(t)1=(t),（5）(t2 t1)(t1 t0)=(t2 t0),右式=(t2 t1+t1 t0),由（3）得=(t2 t1)(t1 t0),(t)k=(t)(t)(t)=eAt eAt eAt,=e(A+A+AA)t=ekAt=(kt),（6
5、）(t)k=(kt),1、状态转移矩阵的性质：设t0=0,（7）对于nn阶A和B阵，如果满足AB=BA，则,e(A+B)t=eAteBt,2、几个特殊 状态转移矩阵的性质,（1）若A为对角线矩阵,1、状态转移矩阵的性质：设t0=0,证明：,将对角线矩阵A代入,eAt=I+At+A2t2/2！+中,eAt=,+,+1/2！,+,证明：,（2）若A为mm约当块,(t)=,求(t)1,解：根据,（4）(t)1=(t),作业2-1：已知系统的状态转移矩阵为,(t)=,求系统矩阵A,2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法,2.2.1 直接计算法,(t)=eAt=I+At+A2t2/2！+,2.2
6、.2 拉氏变换法,(t)=eAt=L1(SIA)1,2.2.3 标准形法,1、矩阵A的特征值互异,P1,eAt=P,P：化A为对角线标准形的线性变换阵,状态转移矩阵为,1、矩阵A的特征值互异,证明：,当A的特征值互异时，必存在一个变换阵P，使,又 eAt=I+At+A2t2/2！+,则 P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+,由于 P1 A2P=P1 APP 1AP,1、矩阵A的特征值互异,同理：,=,所以 P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+,P1 AkP=(P1 AP)(P 1AP),1、矩阵A的特征值互异,=,+,+1/2！,+,所以 P
7、1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+,1、矩阵A的特征值互异,P1eAtP=P1IP+P1 AtP+P1 A2t2/2！P+,1、矩阵A的特征值互异,例：已知系数矩阵,试求其状态转移矩阵。,解：1=1、2=2、3=3,2、矩阵A有重特征值,A具有m重特征值，则状态转移矩阵为,以A有三重特征值为例进行证明,证明 eAt=I+At+A2t2/2！+,则 Q1eAtQ=Q1IQ+Q1 AtQ+Q1 A2t2/2！Q+,=I+Jt+J2t2/2！+,eAt=Q(I+Jt+J2t2/2！+)Q1,若A具有三重特征值1，二重特征值2，单特征值3，,状态转移矩阵,2.2.4 化eAt
8、为A的有限项法,已知 eAt=I+At+A2t2/2！+,则有eAt=a0(t)I+a1(t)A+a2(t)A2+an1(t)An1,a0(t)、a1(t)、，an1(t)为待定系数是t的标量函数,若A的特征值互异，则,2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解,1、直接求解,非齐次状态方程的解,2、拉氏变换求解,SX(S)X(0)=AX(S)+BU(S)设 t0=0,X(S)=(SIA)1X0+(SIA)1 BU(S),对上式取拉氏反变换，利用卷积积分,X(t)=L1(SIA)1X0+L1(SIA)1BU(S),非齐次状态方程的解,例：已知系统状态方程,X0=0,试求在单位阶跃输入（u=1(
9、t)）作用下状态方程的解。,解：,(t)=eAt=L1(SIA)1,(SIA)1,eAt=L1(SIA)1,状态方程的解,X(t)=,eAt,2.4 线性时变连续系统状态方程的解,2.4.1 线性时变连续系统齐次状态方程的解,已知X(t0),状态方程的解：,X(t)=(t，t0)X(t0),2.4.2 状态转移矩阵(t，t0)的性质,（1）(t0，t0)=I,证明：将X(t)=(t，t0)X(t0)代入,上式成立的充要条件,即,又,X(t)=(t，t0)X(t0),当t=t0时，,X(t0)=(t0，t0)X(t0)，,所以(t0，t0)=I,（2）(t2，t1)(t1，t0)=(t2，t0)
10、,证明：X(t)=(t，t0)X(t0),X(t1)=(t1，t0)X(t0)（1）,X(t2)=(t2，t0)X(t0)（2）,X(t2)=(t2，t1)X(t1)（3）,将（1）代入（3）中,X(t2)=(t2，t1)(t1，t0)X(t0)与（2）式比较，则,(t2，t1)(t1，t0)=(t2，t0),（3）1(t，t0)=(t0，t),证明：由性质（1）（2）知,(t，t0)(t0，t)=(t，t)=I,(t0，t)(t，t0)=(t0，t0)=I,故(t，t0)与(t0，t)互为逆矩阵。,2.4.3 状态转移矩阵(t，t0)的计算,2.4.3 状态转移矩阵(t，t0)的计算,证明1
11、：,则满足,对上式求导,满足(t0，t0)=I,2.4.3 状态转移矩阵(t，t0)的计算,证明1：（1）式两边左乘A(t),比较（2）、（3）两式，若使,必满足,又,=I,例：求时变系统的状态转移矩阵(t，0),解：证明,取前面三项近似计算,2.4.4 非齐次状态方程的解,状态方程的解,X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，t0)(t),证明：应用叠加原理,对上式求导,与状态方程比较，得,证明：,=(t0，t)B(t)u(t),两边积分,X(t)=(t，t0)X(t0)+(t，t0)(t),又 X(t0)=(t0，t0)X(t0)+(t0，t0)(t0),X(t0)=I X(t0)+I(t
12、0),(t0)=0,得证,2.5 线性连续系统状态方程的离散化,2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,X(k+1)T=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT),T满足香农定理：采样脉冲宽度远小于采样周期.,系统具有零阶保持特性：在两个采样瞬时之间的采样值不变。即,u(t)=u(kT),kTt(k+1)T,推导离散化的状态方程：,已知：,将上式离散化，令t=(k+1)T，t0=hT，代入上式,(1),2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,令t=kT，t0=hT，代入(1)式，得,将上式两边乘(k+1)T，kT,(2)式减去上式,2.5.1 线性时变连续系统状态方程的离散化,令
13、G(kT)=(k+1)T,kT，u()=u(kT)，kT,(k+1)T,X(k+1)T=G(kT)X(kT)+H(kT)u(kT),Y(kT)=C(kT)X(kT)+D(kT)u(kT),2.5.2 线性定常连续系统状态方程的离散化,X(k+1)T=GX(kT)+Hu(kT),G=(k+1)T kT=(T)=eAT,令t=(k+1)T,Y(kT)=CX(kT)+Du(kT),例：试将状态方程离散化。,解：,eAt=L1(SIA)1,(SIA)1=,B=,=,+,u(kT),2.5.2 线性连续系统状态方程离散化的近似方法,T较小，满足精度的条件下，用差商代替微分。,X(k+1)T=I+T A(
14、kT)X(kT)+TB(kT)u(kT),2.6 线性离散系统状态方程的解,2.6.1 线性定常离散系统状态方程的解,X(k+1)T=GX(kT)+Hu(kT),1、迭代法,X(0),u(0)X(1),u(1)X(2),u(2),设：X(0),u(0)已知,X(1)=GX(0)+Hu(0),X(2)=GX(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1),2.6.1 线性定常离散系统状态方程的解,X(k+1)=GX(k)+Hu(k),2、Z变换法,对上式进行Z变换,zX(z)zX(0)=GX(z)+HU(z),(zIG)X(z)=zX(0)+HU(z),X(z)=(zIG)1z X(0
15、)+(zIG)1HU(z),=(zIG)1z X(0)+HU(z),Z反变换,X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+(zIG)1HU(z),比较两种方法有如下关系,Gk=Z1(zIG)1z,或X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z),例：求线性定常离散系统的解。已知u(k)=1(k=0,1,2),X(0)=,u(k),=,+,解：方法一，迭代法,方法二，Z变换法,X(k)=Z1(zIG)1z X(0)+HU(z),zX(0)+HU(z)=,u(k)=1,X(z)=(zIG)1z X(0)+HU(z),2.6.2 线性时变离散系统状态方程的解,迭代法,再见！,2-1 已知,求（t）。,22 已知,23 求状态空间表达式的解,求系统矩阵A,
