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1、2.3生活中的优化问题,知识要点,生活中经常遇到求利润最大，用料最省，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。解决的基本思路是,优化问题,用函数表示的数学问题,优化问题的解答,用导数解决数学问题,例1某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=_吨,令y=0,得x=20,020时，y0,x=20是函数y在(0,+)内唯一极值点,x=20时y最小,例1某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=_吨,y有最小
2、值160,点评：实际问题的求解，首先要建立函数模型，然后根据导数或不等式等方法，解决最值问题。,例2在半径为R的圆上取一个圆心角为(弧度)的扇形卷成的圆锥，问为多大时，圆锥的体积最大？,解：设圆锥的底面半径为r,高为h,体积为V,例2在半径为R的圆上取一个圆心角为(弧度)的扇形卷成的圆锥，问为多大时，圆锥的体积最大？,点评：本题涉及到的量有、r、h、V，关键是把V表示成其中一个量的函数，然后利用导数求解，对文科考生可以转化为V的导数。,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为多少升？,(2)当汽车以多大
3、的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少，最少为多少升？,设耗油量为h(x)升,依题意得,令h(x)=0,得x=80,当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数,当x(80,120)时，h(x)0,h(x)是增函数,所以，当x=80时，h(x)取极小值h(80)=11.25,因为h(x)在(0,120上只有一个极小值，所以它是最小值,点评：本题是根据经验公式建立耗油量的函数模型，然后利用导数求最小值，要求学生具有函数、导数及其应用等基本知识和应用数学知识分析和解决实际问题的能力。,例4现有一张半径为R的磁盘,存储区是半径介于r与R的环行区域.为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m
4、,最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位)所占有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么(1)计算磁盘的存储量;(2)是不是 r越小,磁盘的存储量越大?最大存储量是多少?,解：(1)存储量应该是每一磁道的存储量的总和,由于磁道之间的宽度不得小于m,且最外面的磁道不存储任何信息，所以磁道数最多可达,由于每比特所占有的磁道长度不得小于n，每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,所以第k条磁道的存储量最多为,例4现有一张半径为R的磁盘,存储区是半径介于r与R的环行区域.为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m,最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位
5、)所占有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么(1)计算磁盘的存储量;,所以磁道总存储量,例4现有一张半径为R的磁盘,存储区是半径介于r与R的环行区域.为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m,最外面的磁道不存储任何信息，每比特(基本存储单位)所占有的磁道长度不得小于n;如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比,那么(2)是不是 r越小,磁盘的存储量越大?最大存储量是多少?,所以不是 r越小,磁盘的存储量越大,点评：本题的生活背景具有时代信息，是数列，函数的综合应用题，关键要求出磁道数，及每一道的存储量，然后表示磁盘存储量，再利用导数解决问题。,例5:在边长
6、为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?,解:设箱底边长为x cm,则箱高h=(60-x)/2 cm.箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,且V(40)=16000 是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,注意：题中有单位时在假设和答中均要写单位，在说明取得最值的时候可以利用问题的实际意义来说明，也可以直接利用函数的单调性来说明，后面一定要答！,解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.,又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为,令,在 的范围内有唯一解x=15.,所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.,
