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1、1,根据求解方式的不同，约束优化设计问题可分为:直接解法，间接解法。,直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向d，且以适当的步长，沿d方向进行搜索，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述搜索过程，直至满足收敛条件。,第5章约束优化方法,机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问题，其数学模型为,2,步长,可行搜索方向,可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。,间接解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进行特殊的加权处理后，和目标
2、函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化成为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优解。,3,进行迭代计算,迭代点既不超出可行域,又使目标函数的值有所下降。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近约束最优点。,1.可行方向法的搜索策略,第一步迭代都是从可行的初始点 出发，沿点的负梯度 方向，将初始点移动到某一个约束面（只有一个起作用的约束时）上,或约束面的交集（有几个起作用的约束时）上。,5.1可行方向法,可行方向是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点，当确定了一个可行方
3、向d和适当的步长后，按式:,4,然后根据约束函数和目标函数的不同性状，分别采用以下几种策略继续搜索。,1新点在可行域内的情况,5,2 新点在可行域外的情况,6,3沿线性约束面的搜索,7,4沿非线性约束面的搜索,8,可行方向是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点是可行点，且目标函数值有所下降。,可行方向应满足两个条件:(1)可行;(2)下降。,1）可行条件,方向的可行条件是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点为可行点。,2.产生可行方向的条件,9,方向的下降条件是指沿该方向作微小移动后，所得新点的目标函数值是下降的。,2）下降条件,10,位于约束曲面在点xk的切线和目标函数等值线在点xk的切线所
4、围成的扇形区内，该扇形区称为可行下降方向区。,满足可行和下降条件，即式:同时成立的方向称可行方向.,11,满足可行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内，在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次迭代的搜索方向。,（1）优选方向法,由条件：,求一个以搜索方向d为设计变量的约束优化问题,s.t.,各函数均为设计变量d的线性函数，因此该式为一个（线性）规划问题。,3.可行方向的产生方法,12,P投影算子，为nXn阶矩阵,G 起作用约束函数的梯度矩阵，nXJ阶矩阵；,（2）梯度投影法 当xk点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时，可将 方向投影到约束面（或约束面的交集）上，得到投影向量 dk。,13,确定
5、的步长应使新的迭代点为可行点，且目标函数具有最大的下降量。约束一维搜索,1）取最优步长 从xk点出发，沿dk方向进行一维最优化搜索，取得最优步长，计算新点x的值。,4.步长的确定,14,改变步长，使新点x返回到约束面上来。使新点x恰好位于约束面上的步长称为最大步长。,取到约束边界的最大步长 从xk点出发，沿dk方向进行一维最优化搜索，得到的新点x为不可行点。,15,约束一维搜索：与以前所讲过的一维搜索相比，约束一维搜索的特点在于：确定初始区间时，对产生的每一个探测点都进行可行性判断，如违反了某个或某些约束条件，就必须减少步长因子，以使新的探测点落在最近的一个约束曲面上或约束曲面的一个容许的区间
6、 内。,16,如得到的相邻三个探测点都是可行点，而且函数值呈“大小大”变化，则与前面一维搜索相同，两端点所决定的区间就是初始区间，接着缩小区间的到一维最小点。如最后得到的探测点落在约束曲面的一个容限 之内，而且函数值比前一点的小，则该点就是一维极小点。,17,收敛条件,2）设计点xk满足库恩-塔克条件,1）设计点xk及约束允差满足,18,解:(1)取初始点，则取作用约束集:Jk=1,例题5-1用可行方向法求约束优化问题,19,用图解法：最优方向：,(2)寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量 的规划问题：,20,x1在约束边界g3(x)=0上:,g3(x1)=0,(4)第二次迭代，用梯度投
7、影法确定可行方向,迭代点x的目标函数负梯度,不满足方向的可行条件，将 投影到约束边界g3(x)=0上。,投影算子：,由上式可求得：,(3)沿d0方向进行一维搜索,21,本次迭代方向,D为沿约束边界g3(x)=0的方向，求最佳步长,求得：,22,23,由于,Jk=3，5,代入KT条件：,（4）收敛判断：,24,25,将有不等式约束的优化问题转化为无约束优化问题来求解。,前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优解上去。,构成一个新的目标函数，称为惩罚函数,求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变权因子r1 和r2的值，求得一序列的
8、无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。,5.2惩罚函数法,26,惩罚项必须具有以下极限性质：,根据惩罚项得不同构成形式，惩罚函数法又可分为外点惩罚函数法，内点惩罚函数法和混合惩罚函数法。,从而有,27,对于只具有不等式约束的优化问题：,转化后的惩罚函数形式为：,或：,1.内点法,1.这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。,28,rk是惩罚因子，它是一个由大到小且趋近于0的正数列，即:,由于内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。由“障碍项”的函数形式可知，当迭代点
9、靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“高墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子 时，才能求得在约束边界上的最优解。,29,例5-2用内点法求,的约束最优解。,解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:,用解析法求函数的极小值，运用极值条件：,联立求解得：,30,时不满足约束条件,应舍去。,无约束极值点为,当,31,使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.,2）惩罚因子初值r0的选取,惩罚因子
10、的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当 r0,3）惩罚因子的缩减系数c的选取,在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:,1）初始点x0的选取,32,式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.10.7之间。,4)收敛条件,33,外点惩罚函数的形式为：,r是惩罚因子,外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用
11、是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x 不可行时，惩罚项的值大于0。,2.外点法,外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的最优解。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。,34,解：惩罚函数为：,=,对上式求偏导，得,例5-3用外点法求解下列有约束优化问题,35,无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：,当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。,36,37,对于,相对应的拉格朗日函数为：,在xk点作泰勒展开，取二次近似表达式,5.3序列二次规划法,序列二次规划法的基本原理是将原问题转化为一系列二次规划子问题。,38,令,拉格朗日函数的一阶导
12、数为,Hk用变尺度矩阵Bk来代替,将等式约束 函数在xk作泰勒展开，取线性近似式:,39,构成二次规划子问题,求解上述二次规划子问题，得到的d就是搜索方向。沿搜索方向进行一维搜索确定步长，最终得到原问题的最优解。,对具有不等式约束的非线性规划问题：,构成二次规划子问题为:,40,求解时，在每次迭代中应对不等式约束进行判断，保留其中的起作用约束，除掉不起作用的约束，将起作用的约束纳入等式约束中。这样，其中不等式约束的子问题和只具有等式约束的子问题保持了一致。,41,5.4圆柱齿轮减速器的优化设计,42,设计参数：,约束条件:,（1）最小齿数要求；（2）齿宽系数要求；（3）齿轮模数要求；（4）小齿轮直径要求；（5）齿轮轴直径取值要求；（6）轴的支承距离l满足条件；,单级圆柱直齿轮减速器，以体积最小为设计目标，已知输入功率P58kw，转速n1000r/min,传动比u5，齿轮的许用接触应力为550MPa，许用弯曲应力为400MPa。,43,s.t.,（7）大齿轮满足弯曲强度要求；（8）小齿轮满足弯曲强度要求；（9）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（10）齿轮轴的最大挠度不大于许用值；（11）齿轮轴的弯曲应力不大于许用值。,44,45,初始方案：,
