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1、第4讲 消费最优化,效用最大化支出最小化效用与支出的对偶消费者均衡,第一节 效用最大化,任何人都希望最大化自己的效用而非最小，这是经济学的一个先验命题，从重商主义、重农主义、古典经济学、新古典经济学到当代主流经济学(新古典主义和新凯恩斯主义)，无不接受、继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。本节就来在前面建立的理性框架下研究消费者的效用最大化行为。偏好的无满足性决定了消费者根本不可能在整个消费集合中选择出最为满意的消费方案，因此，无限制的效用最大化是无法实现的。也就是说，消费者的欲望是无止境的，永远没有一个满足的时候，因而经济学无法研究如何满足人们无止境的欲望的问题。任何人
2、都处在一定的客观环境中，客观环境必然对人们的选择行为带来一定的限制。比如，当需要某种商品的时候，还要看能不能卖得起，穷人就没有钱购买豪华住宅、豪华驾车、聘用私人医生等高级商品。即使富人，金钱也不是万能的，想要的东西可能就是得不到。人们受到的种种限制影响了人们的选择和享受，但这些限制却使得效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。理性消费者正是在服从种种条件限制的情况下，选择自己最满意的方案。这就是效用最大化的具体含义。,一、预算约束,消费者进行消费选择时，一般受到两个方面的条件限制：一方面受到客观条件的限制，主要包括政策、法规、生理状态、自然环境等非经济因素，这些因素的制约给消费者划
3、出了一个可行的选择范围，也就是要求在消费集合中进行选择；另一方面，还受到经济条件的限制，主要是收入带来的限制，有钱才能购物，即要求消费者必须在收入许可的范围内进行消费选择。作为理性人，消费者不能去偷、去抢、去骗。你可能会说，还有赊购和借款消费现象。但请注意，这并不是说商品免费，赊购和借款消费的实质等同于收入扩大，然后在扩大了的收入限制下进行消费选择，因而还是没有摆脱收入给消费选择带来的约束。效用最大化就是指消费者在消费集合中寻求符合收入约束条件的最满意的消费方案，也就是说，消费者在消费集合和收入条件的双重约束下追求最大程度地满足。设消费者面临的商品空间为 R,消费集合为 X,偏好关系为,收入为
4、 r，价格体系为 pR。消费者只能接受这个价格体系，而不能影响和改变它。如果用 x 表示消费者的选择方案的话，那么 x 必需满足两个要求：一是 xX(客观约束)，二是 p x r(收入约束)。这两个要求放在一起，就叫做预算约束：(xX)(p x r)。,(p,r),既然 p0且 x a,我们有 0 pi(xi ai)p(x a)r p a,从而pi xi r p a+pi ai(i=1,2,)，可见 a x b=(b1,b2,b)。这就证明了(p,r)的有界性。至于(p,r)的闭性，则是由于(p,r)是闭集 X 与闭集xR:p x r之交。这样，(p,r)是有界闭集。,(一)预算集合,预算约束
5、确定了消费者的实际选择范围，它不再是整个消费集合 X，而只是 X 的一部分。称这部分为消费者的预算集合。在消费集合 X 已经确定的情况下，要确定预算集合，就需要两个因素：一是价格因素 p，二是收入因素 r。因此，预算集合可以表示为：(p,r)=xX:p x r超平面 p x=r 叫做预算线。,(p,r),X,(预算集合),定理 设消费集合X 是R 的下有界闭子集，则对任何价格向量 p 0，预算集合(p,r)都是有界闭集，从而是紧集。证明：既然 X 下有界，存在向量 a 使得对一切 xX,都有 x a=(a1,a2,a)。令 bi=(r-pa+pi ai)/pi(i=1,2,)。对任何 x,p
6、x=r(预算线),(二)最低生活保障,一般来说，国家为了维护人民的基本生存权利，都要建立最低生活保障制度。比如，我国从1997年 9 月以来，建立了城市居民最低生活保障制度(见国务院关于在全国建立城市居民最低生活保障制度的通知 国发199729号)。建立这项制度，有利于促进经济均衡，当然还有利于社会稳定。我们看中的是最低生活保障制度的经济功能，这里先从预算集合角度来考察最低生活保障制度的含义。为了保证消费者在收入的限制内能够选择到生活需要品，消费者收入应不低于最低收入标准。所谓最低收入标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出I(p)=inf p x:xX。最低生活保障制度就是一
7、种保障消费者收入 r 不低于 I(p)的制度。我们把条件 r I(p)就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出条件。定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。(1)如果 X 且 r I(p)，则(p,r)；(2)如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I(p)，则预算集合(p,r)是非空有界闭集。显然，最低收入标准随价格体系的变化而变化。因此，社会需要经常根据物价水平的变化来调整最低收入标准。,二、马歇尔需求,理性消费者最终选定的消费方案，是预算集合中他认为最好的消费方案，这个方案就是马歇尔从效用最大化出发推导出的消费者需求，人们称其为马歇尔需求，简称为需求。准确地讲，设
8、消费集合为 X，偏好关系为。在价格体系 p 和收入 r 下，预算集合(p,r)中被消费者认为是最好的商品向量的全体，记作 D(p,r)，即D(p,r)=x(p,r):(z(p,r)(z x)，称为消费者的(马歇尔)需求集合，D(p,r)中,的向量称为(马歇尔)需求向量。定理(x,yD(p,r)(x y)，即马歇尔需求集合中的方案都是无差异的。证明：对于x,yD(p,r),既然x是(p,r)中最好的方案,而y(p,r),因而 y x；既然 y 也是(p,r)中最好的方案，而x(p,r)，因而 x y。于是，x y。,现在的问题是，既然效用最大化的结果是选定D(p,r)中的消费向量，D(p,r)就
9、不能是空集。在D(p,r)非空的情况下,D(p,r)最好还是单点集。那么，D(p,r)能满足这种要求吗？下面回答这些问题。,D(p,r),(p,r),证明的关键在于：一是D(p,r)=(p,r)zX:z x，二是连续偏好在任何有界非空闭集中都有满足。具体证明留作练习。我们看到，关于价格-收入组合的下面两个集合非常重要：=(p,r)R R:(p0)(r I(p)=(p,r)R R:(p0)(r I(p)正是那些使马歇尔需求集合 D(p,r)非空的价格-收入组合(p,r)构成的 R 的子集，我们称其为价格收入集合，它充分反映了最低生活保障制度对需求的作用。是 的内部，也是很重要的集合。,(一)马歇
10、尔需求的存在性,定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为收入，为偏好。如果X 是闭集，是连续偏好，则D(p,r)是闭集。如果X 是凸集，是弱凸偏好，则D(p,r)是凸集。如果X 是非空下有界闭集，是连续偏好，p 0 且 r I(p)，则D(p,r)是非空的闭集。,因此，对于满足条件“p0 且 r I(p)”的价格-收入组合(p,r)，理性消费者(X 是非空下有界凸闭集，是无满足的连续凸偏好)的马歇尔需求集合 D(p,r)是非空的有界凸闭集。,x(p,r),+1,证明：这个定理成立的主要原因在于，如果说 D(p,r)中的确存在两种不同的方案，那么这两种方案必然是无差异的，根据偏好的严格凸
11、性，这两种方案的加权平均必然比这两种方案更优，而加权平均依然在预算集合中，这就出现了矛盾：这两种方案是预算集合中最优的方案，没有第三种方案比它们更优；同时，预算集合中存在着比这两种方案更优的第三种方案。矛盾的结论说明，D(p,r)中不可能存在两种不同的方案，即D(p,r)是单点集或空集。,(二)马歇尔需求的唯一性,定理 设 X 为消费集合，p 为价格体，r 为收入，为偏好。如果X 是凸集，是严格凸偏好，则D(p,r)是单点集或空集。如果X 是凸集，内部严格凸，D(p,r)X，则D(p,r)是单点集或空集。如果X 是非空下有界凸闭集,是连续的严格凸偏好,则对任何(p,r)，D(p,r)都是单点集
12、，即马歇尔需求唯一存在。如果X 是非空下有界凸闭集,是连续的内部严格凸偏好,则对任何(p,r)，只要D(p,r)X，D(p,r)就是单点集。,瓦尔拉性质说明，消费者要想获得最大程度的满足，必须把口袋里的钱花光。然而，现实生活中人们总是不会把收入花光，而要保持一部分货币在手中。这种现象是否违背了瓦尔拉定律呢？答案是“否”！其实，货币也是商品，且是特别重要的商品，因而也具有效用：持有货币让人们感到满足，这种满足主要来自于人们对货币的流动性的需要、预防不测、投机等，称为流动性偏好。这样，当考虑的商品中有一种是货币时，服从瓦尔拉定律的需求必然让人们不要把钱花光，而是保留一部分货币在手中。,(三)马歇尔
13、需求的瓦尔拉性质,定理 设 是消费集合 X 上无满足的凸偏好，则对任何(p,r)及 xD(p,r)，都有 p x=r(可写作 pD(p,r)=r)，即马歇尔需求实现了消费者的收支平衡(称为具有瓦尔拉性质或称服从瓦尔拉定律)。,证明：设 xD(p,r)，取 yX 使 y x。假如 p x r，那么在连接 x 与 y 的直线段上必有一点 z 满足 p z=r，如右图所示，因而 z(p,r)。偏好的凸性保证了 z x,这与 x 是预算集合(p,r)中的最优方案相矛盾。可见，p x r 不能成立。注意，p x r是已知的事实。因此，只能是 p x=r。,x,y,z,定理 对任何(p,r)及任何正实数
14、t,都有D(t p,t r)=D(p,r)。证明：这主要是因为(t p,t r)=(p,r)。零阶齐次性说明，如果所有商品价格都与消费者收入以同样比例上升，那么消费者需求不变，从而消费者的满足程度不变。也就是说，价格和收入的同比例上涨并不影响人们的选择和生活水平。消费者的收入是如何得到的呢？事实上，消费者是通过向生产者提供生产要素(比如劳动)来获得收入的。消费者收入的增加意味着生产要素价格的上涨，收入上升的比例就是生产要素价格上涨的比例。而消费者购买的商品正是生产者提供的产品，商品价格上涨就是产品价格的上涨。这样一来，所有商品价格与消费者收入按照同样的比例上升，就意味着所有产品和生产要素的价格
15、按照同样的比例上升。这给生产者会带来什么后果呢？以后将要讲述的理性生产者理论对此问题做出了回答：产品和生产要素价格的同比例上升并不影响生产者的生产选择，产品供应和要素需求都不会变化，而生产者的利润却同比例提高了。这就是通货膨胀在理论上的经济效应：所有商品和要素的价格的同比例上升，既不会改变人们的消费选择，也不改变生产选择，反而使利润上升，刺激和促进了生产。,(四)马歇尔需求的零阶齐次性,根据马歇尔需求的存在性和唯一性定理，如果消费者的消费集合是商品空间 R 的非空下有界凸闭子集，并且偏好关系连续和严格凸，那么对于任何的价格-收入组合(p,r)，都有唯一的方案 xX 与之对应，使得D(p,r)=
16、x。这就定义了从价格收入集合 到消费集合 X 的一个映射：(p,r)(D(p,r)=(p,r),称这个映射为消费者的马歇尔需求映射，简称为需求映射。如果把(p,r)写成分量形式：(p,r)=(p,r),(p,r),(p,r)，则就得到了定义在 上的个函数(p,r)(i=1,2,)，称这些函数为消费者的马歇尔需求函数，简称为需求函数。,三、需求映射,1,2,i,定理 在假设HC和HP下，需求映射:X 具有下述性质：效用最大化：对任何(p,r)及 xX，若 x(p,r)，则 p x r；零阶齐次性：对任何(p,r)及实数 t 0,都有(t p,t r)=(p,r)；瓦尔拉性质：对任何(p,r)，都
17、有 p(p,r)=r。,我们已经看到，在需求映射和需求函数的确定中，偏好的严格凸性发挥了至关重要的作用。与普通的理性消费者相比，具有严格凸偏好的理性消费者具有更强的理性：他的选择非常明确，对什么样的方案最优的问题毫不含糊，预算集合中只有唯一的最优方案。,四、间接效用函数,马歇尔需求向量的效用水平代表着由价格体系和收入水平确定的消费者生活水平。由于需求的零阶齐次性，货币收入的高低并不能真正代表消费者的实际生活水平。如果商品价格不变，那么货币收入的变化对消费者生活的影响就是明显的。但若商品价格发生了变化，那么根据需求映射的零阶齐次性，为了不让消费者生活受到价格变动的影响，消费者的货币收入就必须保持
18、与价格同样的变动幅度。因此，经济学中不是用货币收入水平，而是用需求向量来代表消费者的实际收入水平(即生活水平)。如果消费者偏好 是通过效用函数 u 来表达的，那么需求向量的效用值(即效用水平)就代表着消费者的实际生活水平。当价格与收入发生变化时，需求向量相应地发生变动，因而需求向量的效用值跟着发生变动，这就确定了价格与收入同效用水平之间的一个函数关系：(p,r)(p,r)=u(p,r)。这个函数:R 就叫做消费者的间接效用函数。通过研究间接效用函数，可掌握消费者生活水平随价格和收入的变化规律。关于间接效用函数，这里只引出概念，以后的讨论中还会进一步提及。,五、应用事例,现在，我们应用上面建立的
19、效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与销售税的比较、价格补贴发放办法比较。问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种是征收销售税。假定不论采取哪一种办法，居民缴纳的税额是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些?问题2：涨价补贴对消费者是否有利？商品涨价，国家要发放一定的价格补贴。一种办法是控制住价格，不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是把价格补贴发给消费者，允许商品涨价。那么，这两种补贴办法哪一种对消费者更为有利？应用效用最大化理论，我们就可以对这两个问题做出科学的回答。为此，设商品的市场价格体系为 p，消费者的收入为 r
20、。用 x 表示消费者在价格 p 和收入 r 下的需求向量,即 xD(p,r)，则 x 代表问题1中没有税收情况下消费者的需求向量，也代表问题2中商品不涨价、补贴生产者情况下消费者的需求向量。,(一)所得税与消费税的比较,征收销售税 假定购买一单位商品 i 所纳税额为ti，于是税率向量为t=(t1,t2,t),这相当于价格从 p 上升到 p+t，消费者的最优选择也从 x 变到另一向量 yD(p+t,r),所纳税额为T=t y。注意，y(p+t,r)(p,r)。因此 y x。,征收所得税 如果把征收销售税改为征收所得税，直接从消费者收入 r 中扣除销售税情况下所缴纳的税额T=t y，则预算集合变为
21、(p,r-T)，最优选择变为 zD(p,r-T)。,x,x,y,y,z,(p+t,r),(p,r),结果比较 可以看到 y(p,r-T),因而 y z。这说明：在缴纳的税额相同的情况下，征收所得税要比征收销售税对居民更为有利些。,(p,r-T),(二)价格补贴发放办法比较,设价格体系为 p，消费者收入为r。不许涨价 在把价格补贴发放给生产者，不允许商品涨价的情况下，消费者的需求向量为 xD(p,r)。,允许涨价 在把价格补贴发放给消费者，允许商品涨价的情况下，设涨价后的价格体系为 q。消费者得到补贴后，收入从原来的 r 提高到现在的 s。则涨价后，消费者的需求向量为 yD(q,s)。补贴标准
22、补贴后，消费者仍可按原方案进行消费：补贴=q x-p x，即q x=s。结果比较 x(q,s)，x y。这说明,(p,r),x,x,y,“涨价，补贴消费者”比“不涨价，补贴生产者”对消费者更为有利。,第二节 支出最小化,任何人都希望在保持生活水平不变的条件下最小化自己的支出而非最大，这也是经济学的一个先验命题，从古典经济学到当代主流经济学都接受了这一命题，认为也是经济行为理性的一个重要方面。本节就来在理性消费者的框架下研究支出最小化行为。支出最小化反映的是这样一种经济现象：当消费者面临一种消费方案时，常常会作出这样的考虑：只要效用水平不降低，支出越少就越好。这就是说，消费者首先确定一个效用水平
23、，然后在不低于这个效用水平的前提下使消费支出达到最小。这种做法的道理在于货币也是一种具有效用的商品，支付货币相当于支付效用。以货币换商品，相当于以效用换效用。正常人都会有想占便宜的正常心理，谁不想以较少的效用换得较多的效用呢？因此，支出最小化当然也要算作经济人理性的构成部分。准确地讲，支出最小化是指消费者在保证不降低生活水平的前提下谋求消费支出达到最少。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求概念。,一、约束条件,按照支出最小化思路，我们来分析一下消费者的选择。假定消费者目前面临的消费方案为x，商品的价格体系为 p，从而按照方案x进行消费的货币支出为 p x。如果
24、有另外一种消费方案y,按照 y 消费不但比按 x 消费的支出要少，而且还能让消费者得到至少与 x 一样好的满足程度，那么消费者自然会把方案从 x 调整为 y。如果对 y 还能作类似的调整，那么消费者就会继续调整消费方案。如此下去，这种调整将会一直进行到不能再调整为止。,可以看出，集合 E(x)=yX:y x 在寻求支出最小的方案的调整过程中具有特殊的重要性：它限定了调整方案的选择范围。鉴于此，集合 E(x)就称为消费者在方案 x 处的支出集合。调整方案 y 服从的条件：yE(x)，称为消费者在方案 x 处的支出约束。,x,E(x),在既定价格体系 p 下，对于 xX，用 H(p,x)表示方案
25、x 处的支出集合 E(x)中支出最小(即价值最小)的消费方案的全体，即H(p,x)=zE(x):(yE(x)(p z p y)集合 H(p,x)叫做价格体系 p下方案 x 处的希克斯需求集合，或者称为价格体系 p下效用水平x上的希克斯需求集合。显然，对于任何的 x,yX，只要 x y，就有 H(p,x)=H(p,y)(因为E(x)=E(y)。与希克斯需求密切相关的概念是支出函数。对于价格体系 p及消费方案 xX，用 e(p,x)表示价值函数 p y 在支出集合 E(x)上的最小值，即 e(p,x)=inf p z:zE(x)。当价格 p 和效用水平 x 发生变动时，e(p,x)跟着发生变动，因
26、而 e(p,x)定义了一个函数，这个函数就叫做消费者的支出函数。显然，对于任何 x,yX，只要 x y，就有 e(p,x)=e(p,y)。因此，e(p,x)既是消费方案 x 的函数，又是效用水平x的函数。另外，e(p,x)I(p)对一切价格体系 p 和消费方案 xX 成立。注意，当e(p,x)=I(p)时，当前消费支出已经是整个消费集合 上的最小支出，再也没有支出更小的方案来作比较，说明当前的生活水平极低。因此，通常考虑支出最小化问题时，总是要求 e(p,x)I(p)成立。我们把这个条件叫做最低支出限制。,二、希克斯需求,(一)希克斯需求的存在性和唯一性,定理(存在性)如果消费集合 X 是 R
27、 的下有界非空闭子集，并且偏好关系 连续，则对任何价格向量 p0 及任何 xX，都有 H(p,x)。因此，理性消费者的希克斯需求是存在的。理由：有界闭集上的连续函数必有最小值。,希克斯需求集合 H(p,x)不一定非空，也不一定是单点集。但当 H(p,x)时，就有 p H(p,x)=e(p,x)。即(yH(p,x)(p y=e(p,x)。,x,p,定理(唯一性)设消费集合 X 是凸集，偏好 连续且严格凸，则对于服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX,希克斯需求集合H(p,x)中最多只有一种消费方案。,反证法：假如存在 y,y H(p,x),y y,如右图所示,则 p y=p y=e
28、(p,x)I(p),从而存在 wX 满足 p w p y。这样，w x。,x,y H(p,x),y H(p,x),y=(y+y),w,z,12,的严格凸性保证了y x。的连续性保证了在连接 w 和 y 的线段上存在 z 满足：z x 且 p z p y=p y。这与 y H(p,x)相矛盾！,H(p,x),(二)希克斯需求的保效性与静态比较,定理(保效性)设消费集合X 是凸集,偏好关系 连续,则对于服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX，希克斯需求集合H(p,x)中的每种方案都与 x 无差异。,yH(p,x),y x,w x p w p y,反证法：假如存在 yH(p,x)使 y
29、 x。则存在wX 使得 p w p y且w x。的连续性就保证了连接 w 和 y 的线段上存在 z 使得z x且 p z p y。这与 y H(p,x)相矛盾！,z x,p z p y,xX,定理(静态比较)设 zX。当价格从 p 变到 q 时，希克斯需求从 H(p,z)变到H(q,z)：(xH(p,z)(yH(q,z)(p q)(x y)0)。,证明：注意，x,yE(z)。xH(p,z)说明 p x p y；yH(q,z)说明 q x q y。因此，p x q x p y q y，即(p q)(x y)0。,定理(支出函数的效用性)设 X 满足假设HC，偏好 连续，价格向量 p 0，X(p)
30、=xX:e(p,x)I(p)。则对任何 x,yX(p)，都有(x y)(e(p,x)e(p,y)成立。因此，支出函数 e(p,x)可以看成是用货币来度量的效用函数，这就是支出函数的效用性质。,p,三、希克斯需求映射,我们看到，p0的要求在希克斯需求的存在性中不可少，而最低支出条件 e(p,x)I(p)在希克斯需求的唯一性中发挥着至关重要的作用。因此，由 p0 和 e(p,x)I(p)确定的价格-方案组合才是我们真正关心的，我们把这种价格-方案组合的全体记作，即=(p,x)R X:(p 0)(e(p,x)I(p)希克斯需求的存在性和唯一性表明，在假设 HC 和偏好关系连续、严格凸的条件下，希克斯
31、需求确定了一个映射 h:X 如下：(p,x)(H(p,x)=h(p,x)即 h(p,x)就是 H(p,x)中的那个唯一的方案。称这个映射 h:X 为消费者的希克斯需求映射。该映射的每一个分量函数 hi(p,x)称为消费者的希克斯需求函数(i=1,2,)。显然，希克斯需求映射具有下述三条性质：零阶齐次性：对任何(p,x)及实数 t 0，都有h(t p,x)=h(p,x)。效用不变性：对任何(p,x)，h(p,x)x。反向变动性：对任何(p,x),(q,x)，(p q)(h(p,x)h(q,x)0。即 价格与需求反向变动。,四、效用与支出的对偶,从表面上看，效用最大化的马歇尔需求没有考虑支出最小化
32、问题，支出最小化的希克斯需求也没有考虑效用最大化问题。其实并非如此，效用最大化与支出最小化是相互确定的：效用最大化时支出也实现了最小化，支出最小化时效用也实现了最大化。,对偶定理 设消费集合X 是 R 的下有界非空凸闭子集，是无满足的连续凸偏好。对任何(p,r)和(p,x)，都有：(1)(zD(p,r)(zH(p,z)，即效用最大时支出也最小；(2)(zH(p,x)(zD(p,e(p,x)，即支出最小时效用也最大；(3)如果 还严格凸,则(p,r)=h(p,(p,r)且h(p,x)=(p,e(p,x)。,对偶定理说明，马歇尔需求与希克斯需求一致。既然如此，消费最优化问题就既可以从效用最大化出发
33、，也可以从支出最小化出发来解决。鉴于这个原因，今后我们直接从效用最大化出发来研究消费者需求。凡提到需求，如无特殊说明，均指马歇尔需求。,z,第三节 消费者均衡,在既定的价格体系和收入约束下，当消费者实现了效用最大化时，我们就说消费者实现了均衡。所以，均衡时的选择就是消费者的需求。这样，需求向量也可叫做消费者的均衡向量或均衡方案。到目前为止，我们对消费者需求的研究实际上是在讨论均衡的性质，比如均衡的存在性、唯一性、对偶性以及其他一些性质，但没有涉及消费者均衡的实现问题。本节来讨论这个问题，即研究消费者如何才能实现效用最大化。我们将使用效用函数来研究均衡的实现问题，这比不使用效用函数要方便得多。为
34、了使用效用函数，本节采用如下的一些假设：(1)假设HC、HP 和 HU(2)均衡在消费集合内部实现 利用效用函数，效用最大化问题可得到简洁的表述：其中 u 为效用函数，p 为价格向量，r 为收入。注意需求的瓦尔拉性质，上式中的不等式可用等式代替，从而效用最大化问题更加明确：,max u(x)p x=r,max u(x)p x r,我们看到，效用最大化是一个带约束条件的极值问题，可用拉格朗日乘数法求解。为此，构造拉格朗日函数 L(x,)：L(x,)=u(x)+(r p x)当 x*是效用最大化问题的解时，必存在实数 使得 L(x,)在(x*,)处的各个一阶偏导数全为零，从而在(x*,)处下述等式
35、组成立：这就是说，效用最大化问题可用上述方程组来求解。鉴于此，我们把这个方程组就称为边际等式或边际方程(marginal equation)，其中的实数 叫做拉格朗日乘数。假设HU保证了u(x*)0，因此 0(如果 u 是单调的，则还有 0)。边际替代率：在消费方案 x 处，商品 i 对商品 j 的边际替代率是指当商品 i 的消费量增加一个单位时，在保持效用水平不变的情况下商品 j 的消费量可以减少的数量。即 MRSi,j=(d xj/d xi)=ui/uj。市场替代率：商品i 对商品 j 的市场替代率是指市场上一个单位的商品 i 所能换得的商品 j 的数量,即商品 i 与商品 j 的价格比
36、pi/pj。,一、实现均衡的必要条件,必要条件的意义,边际效用均等法则：均衡时，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的；拉格朗日乘数 就是均衡时货币收入的边际效用。,商品之间替代法则：均衡时，任何两种商品之间的边际替代率都与市场替代率相等，因而商品的消费都达到了物尽其值的状态。,二、实现均衡的充分条件,定理 设消费集合X 满足假设HC,效用函数 u(x)连续、拟凹、无最大值,并且满足假设HU,x*X,(p,r)。如果存在实数 0 使得u(x*)=p且 px*=r，则x*D(p,r),即 x*是消费者在价格体系 p 和收入 r 下的均衡。证明：任意给定 xE
37、(x*)，即 u(x)u(x*)，u的连续性和拟凹性保证了对一切实数 t(0,1)都有 u(t x+(1-t)x*)u(x*)。于是，,事实上,边际等式实际上也是实现消费者均衡的充分条件。下述定理保证了这一点。,这说明(xE(x*)(p x p x*)，从而 x*H(p,x*)。注意,e(p,x*)=p x*=r I(p)。因此，(p,x*)。应用对偶定理即知，x*D(p,r)。,充分条件的意义,边际效用均等法则：如果在 x*处，把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品以增加消费量，其所增加的效用都是一样的，即那么 x*就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。,商品之间替代法则：如果在 x*
38、处，任何两种商品之间的边际替代率都等于它们相应的价格比，即那么 x*就是消费者在价格 p 和收入 r 下的均衡。,设 x*X，u(x*)0，r=p x*，(p,r)，并假定理性消费者具有满足假设HU的效用函数 u(x)。,设 x*=(p*,r*),(p*,r*),*是确定 x*的边际方程中的拉格朗日乘数,即u(x*)=*p*且 p*x*=r*。假设HC、HP和HU成立。间接效用函数 可看作是由函数 L(x,p,r)=u(x)+*(r-p x)和需求映射(p,r)复合而成的：(p,r)=u(p,r)=L(p,r),p,r)。因此，我们有：,三、Lagrange乘数的意义,注意，u(x*)=*p*
39、，从而(p*,r*)r=*。由于(p*,r*)任意给定，因此可把此公式直接写成下述定理的形式：定理 在假设HC、HP 和HU下，对任何(p,r)，如果(x,)是边际方程的解，即u(x)=p且 p x=r，那么(p,r)r=。这说明，拉格朗日乘数是货币收入的边际效用，因而被称为是货币的价格。但这种价格属于主观感受，并不实际表现出来，而好像货币的影子，因而称为影子价格。这就是拉格朗日乘数的意义。,四、内部均衡与边界最差,在消费集合内部，消费者可以沿着任何方向对消费方案进行修正。但是，若要修正消费集合边界上的方案，就必须考虑修正方向是否允许。比如，消费者目前的选择是为了生存所必需的最小消费向量，那么
40、朝着减少消费量的方向的修正就是不允许的。既然修正边界方案受到一定限制，消费者一般就会认为内部方案比边界方案好。这就是边界最差假设所表述的现象。,边界最差假设 消费集合内部的方案比边界上的方案好，即(xX)(y X)(x y),这个假设是生活水平较高的体现。那种有食无衣、有衣无食的生活正是最差的边界生活。在边界最差假设下，均衡必然在消费集合内部实现：有衣有食，这就是内部均衡定理所表述的事实。,内部均衡定理 设X R 是下有界闭凸集且内部非空。是无满足的连续凸偏好,并满足边界最差假设,则对于任何(p,r),都有 D(p,r)X。进而如果 还是内部严格凸的，则消费者均衡唯一确定,从而需求映射:X 得以确定,且(p,r)(p,r)X)。内部均衡定理表明，边界最差假设正是保证消费者均衡在消费集合内部实现的条件。,
