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1、第十四章 线性动态电路的复频域分析,本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变换的部分分式法（分解定理），还将介绍KCL和KVL的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通过实例说明它们在电路分析中的应用。,目录,本章作业,141(2)(4)(6)(8)、142(1)(3)、143(2)(4)、144、147第四版1313、149 第四版1315、1410 第四版1310,14 1 拉普拉斯变换的定义,拉普拉斯变换是一种数学变换。,拉普拉斯正变换,拉普拉斯反变换,S=+j,f(t),原函数,F(s),
2、象函数,拉氏正变换,拉氏反变换,一一对应,简写符号,F(s)=Lf(t),f(t)=L1F(s),例：,解：,1.F(s)=L(t),2.F(s)=L(t),=1,计算下列原函数的象函数；,1.f(t)=(t)2.f(t)=(t)3.f(t)=et(t)4.f(t)=t(t),3.F(s)=Let(t),4.F(s)=Lt(t),同理：,14 2 拉普拉斯变换的基本性质,若：Lf1(t)=F1(s)Lf2(t)=F2(s),则：LA1f1(t)+A2f2(t)=A1F1(s)+A2F2(s),证：,LA1f1(t)+A2f2(t),=A1F1(s)+A2F2(s),一、线性性质,例：,计算下列
3、原函数的象函数；,1、常数U 2、A(1et)3、sint,解：,1、LU,2、LA(1et),3、Lsint,=LALAet,=LU(t),二、(时域)微分性质,设：Lf(t)=F(s),则：Lf(t)=sF(s)f(0),证：,=sF(s)f(0),推广：,Lf(t)=s2F(s)sf(0)f(0),Lfn(t)=snF(s)sn1f(0)sn2f(0)f(n1)(0),例：,求：uc(t)的冲击响应,解：,等式两边进行拉普拉斯变换,进行拉氏反变换,三、(时域)积分性质,设：Lf(t)=F(s),证：,两边进行拉氏变换,根据导数性质,四、(时域平移)延迟性质,时域平移,设：Lf(t)=F(
4、s),例：,求单个正弦波的象函数。,f(t)=sint(t)sin(tT)(tT),五、(频域)导数性质,设：Lf(t)=F(s),六、(频域)平移性质,设：Lf(t)=F(s),则：Letf(t)=F(s+),例：,求：Letsint,例：,求：Ltnet,常用函数的拉氏变换表,14 3 拉普拉斯反变换的部分分式展开,频域平移性质,例1：,例2：,求：L1(12es+e2s)/s2,=t2(t)(t)+(t2)(t2),时域平移性质,部分分式展开法,F(s)一般可以写成关于s的两个多项式之比。,N(s)、D(s)是关于s的多项式,设：F(s)为有理式(nm),对分母进行因式分解,式中p1、p
5、2、pn为D(s)=0的根，称为F(s)的极点。,一、F(s)的极点为各不相等的实数根,p1p2pnp1、p2pn为实数,则：L1F(s),如何求k?,用(sp1)乘以上面等式两边,令s=p1,例1:,解:,例2:,解:,L1F(s)=(t)+(t)3e2t+7e3t,二、F(s)有共轭复极点,k1、k2共轭,=2|k1|etcos(t+1),波形,f(t)=2|k1|etcos(t+1),=0,0,0,例：,解：s2+2s+5=(s+1j2)(s+1+j2),则：=1=2,=0.45ej116.6,则：|k1|=0.45 1=116.6,f(t)=0.9etcos(2t+116.6)+1.4
6、e2t,三、F(s)有重极点,例：,解：,=2,=3,=2,=2,部分分式展开法的一般步骤：,1、若nm，则先将F(s)化为真分式和多项式之和。,2、对真分式的分母进行因式分解，求其极点。,3、将真分式展开成部分分式，确定其系数。,4、对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。,14 4 运算电路,一、元件的运算等效电路,1、电阻,u=iR,时域电路模型,两边进行拉氏变换,U(s)=I(s)R,运算电路模型,2、电容,两边进行拉氏变换,I(s)=sCU(s)Cuc(0),或：,运算电路模型,3、电感,两边进行拉氏变换,U(s)=sLI(s)Li(0),或：,4、受控源,u=i,U(s)=I(s)
7、,5、含有耦合电感的电路,U1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0),自感电压,自感附加电压源,互感电压,互感附加电压源,U2(s)=sL2I2(s)L2i2(0)+sMI1(s)Mi1(0),电路模型：,U1(s)=sL1I1(s)L1i1(0)+sMI2(s)Mi2(0),U2(s)=sL2I2(s)L2i2(0)+sMI1(s)Mi1(0),二、运算电路,已知：电路原已达稳态，电容无储存能量，t=0时将开关S合上。试画出运算形式电路图。,解：,iL1(0+)=iL1(0)=2A,iL2(0+)=iL2(0)=2A,uC(0+)=uC(0)=0V,例：,三、运算
8、形式的电路定律,运算形式欧姆定律,Z(s),运算阻抗,基尔霍夫定律的运算形式,KCL:I(s)=0,KVL:U(s)=0,提示：,14 5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路,1、确定iL(0)、uC(0)。,步骤：,2、对uS(t)、iS(t)进行拉普拉斯正变换。,3、画出运算形式电路图。,4、应用电路分析的方法求出响应的象函数。,5、对象函数进行拉普拉斯反变换，求出响应的时 域解（原函数）。,例1：,已知：t=0时，iL(0)=1A，uC(0)=1V，t=0时将开关S从12。求：t0时i(t)。,解：i(t)为二阶电路全响应，应用运算法。,2,s,1V,i(t)=etcost(A),进行拉氏反
9、变换,响应为欠阻尼震荡衰减。,例2：,已知：电路原已达稳态，求S打开后电路中的电流和电感上的电压。,解：iL1(0)=5A iL2(0)=0A,注意：,拉氏反变换,i(t)=2+1.75e12.5tA,3.75,2,电感中的电流发生跳变，说明电路中必有冲击电压。,UL1(s)=0.3sI(s)1.5,uL1(t)=6.6e12.5t0.38(t)V,UL2(s)=0.1sI(s),uL2(t)=2.2e12.5t+0.38(t)V,续,例3：,列结点方程,代入数据,整理:,零状态响应,零输入响应,u(t)=5.6e2t+8.7e5t+2.6sin(5t23.2)V,例4：,电路原已达稳态，求S
10、打开后电感中的电流和开关两端的电压。,解：iL1(0)=iL2(0)=10A,IL2(s)=0 iL2(t)=0,UK(s)=IL1(s)(2+4s)40 20+20+402sIL1(s),本章小结：,运用拉普拉斯变换法(运算法)求解电路问题和运用相量法求解正弦稳态电路的基本思想是类似的，如下表所示。,相量法,运算法,正弦量相量(相量模型),原函数象函数(运算模型),线性代数方程(以相量为变量),线性代数方程(以象函数为变量),相量正弦量(一定已知),象函数 原函数(拉氏反变换),将电路中的非零独立初始条件考虑成附加电源后，电路方程(KCL和KVL，电路元件VCR)的运算形式和相量形式类似，因此，相量法中各种计算方法(如结点电压法、回路电流法等)和定理(如叠加定理、戴维宁定理等)在形式上完全可以移用于运算法。但注意这两种方程具有不同的意义。,应用运算法求解线性电路可分为三个步骤：,
