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1、已知数控机床控制系统如图所示，试说明图中的各个部分属于机电一体化系统中的哪一个基本要素。,第二单元：机电一体化系统的机械环节课题一：传动系统数学模型的建立,一、数学模型的概念所谓数学模型，就是用数学的方法和形式表示和描述系统中输入（电机，转子运动）和输出（工作台运动）及各变量之间的相互关系。二、建模的意义 建模就是为了求传递函数，从而将时域变为频域进行分析。,三、传递函数,在零初始条件下，线性定常系统的输出量与输入量的拉普拉斯变换之比。即：,四、常见机械系统的数学模型,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学原理，机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移为角
2、位移）1、直线运动的数学模型,m物体质量，KgF（t）物体所受到的力.Nx（t）线位移t时间,2、转动数学模型,T（t）物体所受到的力矩J物体的转动惯量（t）角位移,3、阻尼器的数学模型,C黏性系数,初始状况,4、弹簧的数学模型,K弹簧刚度系数,五、数学模型建立的步骤,建模一般分两步进行1、机械系统中各基本物理量折算到传动链中的某个元件上（一般是折算到电动机轴上）。（折算的基本原则是能量守恒，即：稳态P不变，动态动能不变）2、根据元件的输入和输出量的关系建立它的数学模型。,以数控机床进给传动系统为例,六、基本物理量的折算1、转动惯量的折算（J）,把轴、上的转动惯量和工作台的质量都折算到轴上,作
3、为系统的等效转动惯量。设T1、T2、T3分别为轴、的负载转矩,1、2、3分别为轴、的角速度,v为工作台位移时的线速度,z1,z2,z3,z4分别为四个齿轮的齿数。,（1）、轴转动惯量的折算,根据动力平衡原理,、轴的力平衡方程分别是,（1）,（2）,（3）,因为轴的输入转矩T2是由轴上的负载转矩获得的,且与它们的转速成反比,所以,又根据传动关系有,把T2和2值代入式(2),整理得,（4）,同理可得,（5）,（2）将工作台质量折算到轴,在工作台与丝杠间,T3 驱动丝杠使工作台运动。根据动力平衡关系有,式中:v 工作台的线速度；L 丝杠导程。,所以丝杠转动一周所做的功等于工作台前进一个导程时其惯性力
4、所做的功。,(6),又根据传动关系有,把v值代入(6)式整理后得,(7),把式（4）、（5）、（7）分别代入式（1）、消去中间变量并整理后求出电机输出的总转矩T1为,（3）折算到轴上的总转动惯量,(8),2.粘性阻尼系数的折算,当工作台匀速转动时,轴的驱动转矩T3完全用来克服粘滞阻尼力的消耗。考虑到其他各环节的摩擦损失比工作台导轨的摩擦损失小得多,故只计工作台导轨的粘性阻尼系数C。根据工作台与丝杠之间的动力平衡关系有T32=CvL(9)即丝杠转一周T3所作的功,等于工作台前进一个导程时其阻尼力所作的功。,根据力学原理和传动关系有,代入（9）式得,式中:C工作台导轨折算到轴上的粘性阻力系数,其值
5、为,（10）,3.弹性变形系数的折算,机械系统中各元件在工作时受力或力矩的作用,将产生轴向伸长、压缩或扭转等弹性变形,这些变形将影响到整个系统的精度和动态特性,建模时要将其折算成相应的扭转刚度系数或轴向刚度系数,（1）轴向刚度的折算,当系统承担负载后,丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形,下图是它的等效作用图。在丝杠左端输入转矩T3的作用下,丝杠和工作台之间的弹性变形为,对应的丝杠附加扭转角为3,根据动力平衡原理和传动关系,在丝杠轴上有：T32=KL（11）,式中:K附加扭转刚度系数,其值为,（12）,（2）扭转刚度系数的折算。设1、2、3分别为轴、在输入转矩T1、T2、T3的作用下产生的扭
6、转角。根据动力平衡原理和传动关系有,由于丝杠和工作台之间轴向弹性变形使轴III附加了一个扭转角3,因此轴上的实际扭转角III为III 3+3将3、3值代入,则有,将各轴的扭转角折算到轴上得轴的总扭转角为,将1、2、III值代入上式有,(13),(14),式中:K 折算到轴上的总扭转刚度系数,其值为,(15),4.建立系统的数学模型,设输入量为轴的输入转角Xi,输出量为工作台的线位移Xo。根据传动原理,可把Xo折算成轴的输出角位移。在轴上根据动力平衡原理有,又因为,(16),(17),因此,动力平衡关系可以写成下式：,(18),这就是机床进给系统的数学模型,它是一个二阶线性微分方程。其中,J、C
7、、K均为常数。通过对式(18)进行拉氏变换,可求得该系统的传递函数为,式中:n 系统的固有频率,其值为,系统的阻尼比,其值为,传递函数,六、机械性能参数对系统性能的影响,1、与那些因素有关 通过以上的分析可知,机械传动系统的性能与系统本身的阻尼比、固有频率n有关。n、又与机械系统的结构参数密切相关。因此,机械系统的结构参数对伺服系统的性能有很大影响。2、阻尼的影响（1）当阻尼比0时,系统处于等幅持续振荡状态（2）当 1时,系统为临界阻尼或过阻尼系统。此时,过渡过程无振荡,但响应时间较长。,2、阻尼的影响,（3）当01时,系统为欠阻尼系统。此时,系统在过渡过程中处于减幅振荡状态,其幅值衰减的快慢
8、,取决于衰减系数n。在n确定以后,愈小,其振荡愈剧烈,过渡过程越长在系统设计时，一般取0.40.8的欠阻尼系统，过渡平稳，过渡过程短，灵敏度高。最佳阻尼比：,3.摩擦的影响,影响有：引起动态滞后，降低系统的响应速度，导致系统误差和低速爬行。,4.弹性变形的影响,当伺服电动机带动机械负载按指令运动时，元件会因受力而产生弹性变形，有可能产生谐振，在设计时应避免谐振，因此电动机转子固定时的固有频率t应大于伺服系统带宽b的5倍。即,式中：e伺服精度（）,负载最大角加速度,5.惯量的影响,惯量大,值将减小,从而使系统的振荡增强,稳定性下降；惯量大,会使系统的固有频率下降,容易产生谐振,因而限制了伺服带宽
9、,影响了伺服精度和响应速度。因此，机械设计时，在不影响系统刚度的条件下，应尽量减小惯量，惯量的适当增大，只有在改善低速爬行时有利。,6.传动间隙对系统性能的影响,(1)闭环之外的齿轮G1、G4的齿隙对系统稳定性无影响,但影响伺服精度。(2)闭环之内传递动力的齿轮G2的齿隙对系统静态精度无影响,这是因为控制系统有自动校正作用。(3)反馈回路上数据传递齿轮G3的齿隙既影响稳定性,又影响精度。因此在设计时，应尽量减小或消除间隙，可采用偏心轴套法等。,作业：,1、一个由弹簧质量阻尼器组成的机械平移系统，m为物体质量，k为弹簧系数，f为黏性系数，外力F（t）为输入量，位移y（t）为输出量，建立系统的数学模型。,2、已知传动机构如图所示，齿轮的传动比为，丝杠的导程为，试计算折算到电机轴上的等效惯量？,作业：,解：传动系统有两根轴，每根轴上的总惯量分别为总的等效惯量为,
