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1、1.5.3 定积分的概念,定积分的概念,内容：,应用,求定积分,利用定积分求不规则图形的面积,定积分的几何意义,用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：,分割,以曲代直,作和,逼近,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法:,(2)以直代曲:任取xixi-1,xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.,(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为,(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi-1,xi,xi,(1)分割:在区间a,b上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度x,如果当n+时，Sn 就
2、无限接近于某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作：,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割-以直代曲-求和-逼近.,1.曲边梯形面积问题;2.变力作功问题;3.变速运动的距离问题.,我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义,它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值,问题情境:,定积分的定义,一般地,设函数f(x)在区间a,b上有定义,将区间a,b等分成n个小区间,每个小区的长度为,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,.xi,.xn,作和如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那
3、么称常数S为函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作:.,定积分的相关名称：叫做积分号，f(x)dx 叫做被积表达式，f(x)叫做被积函数,x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。,积分下限,积分上限,按定积分的定义，有：(1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,(3)设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间a,b内所做的功W为,注：定积分数值只与被积函数及积分区间 a,b 有关,与积分变量记号无关,函数在区间a,b
4、上的定积分能否为负的?,定积分,定积分=.,定积分的几何意义,当 f(x)0，定积分的几何意义就是,曲线 y=f(x)，直线 x=a、x=b、y=0 所围成的曲边梯形的面积,当函数 f(x)0，xa,b 时 定积分 几何意义,就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数.,用定积分表示下列阴影部分面积：,S=_;,S=_;,S=_;,定积分的几何意义：,在区间a,b上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).,例1：计算下列定积分.,求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决.,定积分的基本性质,性质1.,性质2.,定积分关于积分区间具有可加性,
5、性质3.,例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,例3.,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,定积分的实质：特殊和式的逼近值,2定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取逼近,3.定积分的几何意义及简单应用,1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号.,利用定积分的几何意义，说明下列各式.成立：,1）,2）.,1）,2）.,试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积.,0,y,x,y=x2,1,2,0,x,y=g(x),a,b,y,2.,面积值为圆的面积的,
