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1、第二章 误差,本章要点：,误差的概念与表示方法,随机误差、系统误差和粗大误差的特性和处理方法,测量数据处理的方法,本章是测量技术中的基本理论，搞测量就得与误差打交道。,2.1 误差的概念与表示方法,误差=测量值-真值,例如，在电压测量中，真实电压5V，测得的电压为5.3V，则,误差=5.3V-5V=+0.3V,真值为“表征某量在所处的条件下完善地确定的量值”。,真值是一个理想的概念。真值客观存在，却难以获得。,实际值-实际测量中常把高一等级的计量标准测得的实际值作为真值使用。,“实际值”“约定真值”。,2.1.1 测量误差,例如：现在是什么时间？能准确地报出北京时刻吗？,实际值：在实际测量中，
2、常用高一级标准仪 器的示值来代替真值，通常称为实 际值，也叫相对真值。标称值：测量器具上标定的数值。但由于制 造和测量精度不够及环境因素的影响，标称值并一定等于它的真值或实际值。因此，在标出测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级。示值：测量器具指示的被测量的量值，也 称测量器具的测量值，它包括量值 和单位。,误差的来源,1.仪器误差,指针式仪表的零点漂移、刻度误差以及非线性引起误差；,数字式仪表的量化误差（如5位半的电压表比3位半量化误差小）；,比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。,2.方法误差,由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。,例如：用普通模
3、拟式万用表测量高阻上的电压。,电压表内阻,习题 被测电阻Rx，电压表的内阻为RV，电流表的内阻为RI,对于图(a)：,对于图（a）当电压表内阻RV很大时可选a方案。对于图（b）当电流表内阻RI很小时可用b方案。,3 理论误差,测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为,但实际上，回路电感L中总存在损耗电阻r，其准确的公为,4 影响误差,由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等条件与要求不一致，使仪表产生的误差。,5 人身误差,由于测量者
4、的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差。,研究误差理论的目的是分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定测量条件下，尽力设法减少误差，保证测量误差在容许的范围内。,1.绝对误差：,定义：被测量的测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差。,在实际测量中：,“约定真值”“实际值”=A 表示,修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用C表示,在测量时，利用示值和已知的修正值相加，即可以计算出被测量的实际值。A=X+C例子：某电流表测的电流示值时0.83mA，查得该电流表在0.8mA及其附近的修正值都是-0.02m
5、A，那么被测的电流的实际值是多少?A=0.81mA,2 相对误差：,例：用二只电压表V1和V2分别测量两个电压值。,V1 表测量150伏，绝对误差x1=1.5伏，,V2 表测量10伏，绝对误差x2=0.5伏,从绝对误差来比较 x1 x2 谁准确？,-表示相对误差,相对误差可以有多种形式：,真值相对误差,实际值相对误差:一般情况下得不到真值，用绝对误差与实际值之比来表示相对误差,测量值（示值）相对误差：在误差较小、要求不太严格的场合，也可以用仪器测得值代替实际值。,满度（或引用）相对误差：仪器量程内最大绝对误差与测量仪器满度值之比来表示的相对误差,常用,因通常 A0、A、X X 故常用X方便,我
6、国电工仪表的准确度等级S按照满都误差分级的：分为七级：0.1、0.2、0.5、1.0、1.5、2.5、5.0,例：检定量程为100A的满刻度相对误差小于2%电流表，在50A刻度上标准表读数为49A，问此电流表是否合格？,解：x0=49A x=50A xm=100A,（二级表）,用分贝（dB）表示相对误差,相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、电压的增益（衰减）的测量中。,功率等电参数用dB表示的相对误差为,电压、电流等参数用dB表示的相对误差为,dBm：比值，描述功率单位。,随机误差-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,系统误差-按一定规律变化的误差,粗大误差-显著偏离实际值的
7、误差,2.2 随机误差,2.2.1 定义与性质,测量术语：“等精度测量”在相同条件（同一人、同一仪器同一环境、同一方法）下，对同一量进行重复测量，称为等精度测量。,随机误差定义：在等精度测量下（在相同条件下，多次测量同一量值时），误差的绝对值和符号都是不定值（以不可预定的方式无规则变化的误差），称为随机误差，也称偶然误差、或然误差，简称随差。,随机误差概念-不可预定方式变化的误差（同随机变量）,（1）在多次测量中，误差绝对值的波动有一定的界限，即有有界性,（2）当测量次数足够多时，正负误差出现的机会几乎相同，即具有对称性,（3）同时随机误差的算术平均值趋于零，即具有抵偿 性,随机误差特点,由于
8、随机误差的上述特点，可以通过对多次测量取平均值的办法，来减少随机误差对测量结果的影响，或者用其他数理统计的办法对随机误差加以处理。,举例：对一电阻进行n=100次等精度测量,表 2.2 按大小排列的等精度测量结果,2.3 粗大误差,在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。,产生原因：测量方法不当或错误；测量操作疏忽和失误；测量条件突然变化。,粗大误差无规律可循，故必须当作坏值予以剔除。,剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下，首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有三种：,2.
9、3.1 定义,2.3.2 处理,2.3.3 剔除法则,检验方法常见的有三种：,1 莱特检验法（n200）,3s（x）,2 肖维纳检验法（判则不严）,3 格拉布斯检验法（理论与实验证明较好）,Gs,在一组测量数据中，可疑数据应极少。否则，说明系统工作不正常。,2.4 系统误差,上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提。,实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下的系统误差数值还比较大。,在相同测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件变化的时候，按照一定规律变化的误差称为系统误差,2.4.1 系统误差的产生原因,系统误差是由固定不变的或按确定
10、规律变化的因素所造成，这些误差因素是可以掌握的。,1.测量装置方面的因素,仪器机构设计原理上的缺点，如指针式仪表零点未调整正确；仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差等。,2.环境方面的因素,测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。,3.测量方法的因素,采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。,4.测量人员方面的因素,由于测量者的个人特点，在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后的倾向。,2.4.2 系统误差的检查和判别,
11、系统误差（简称系差）的特征是：,系统误差时一个恒定不变的值或者是确定的函数值；多次重复测量，系统误差不会消除或减少；系统误差具有可控制性或修正性,1.恒定系统误差的检查和处理,恒定系差（恒差）常用的判断方法有以下几种,1)改变测量条件,测量条件指测量者、测量方法和环境条件等，在某一测量条件下有许多恒差为一确定不变值，如改变测量条件，就会出现另一个确定的恒差，例如，对仪表零点的调整。,2)理论分析计算,凡属由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析，就可找出系差的大小。（分压比校准）,3)用高档仪器比对、校准,用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验
12、后，则知其是偏大还是偏小。用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。,4)统计法（排除随机误差，剩下即系统恒差）,下面分析恒定系统误差对测量结果的影响。,设一系列重复测量值为x1，x2，xn，测量值中含有随机误差i 和恒定系统误差，设被测量的真值为x0，则有,当n足够多时，,上式表明，当测量次数n足够大时，随机误差对,的影响可忽略，而系统,中。利用修正值 C=可以在进行平均前的每个测量值xi,误差会反映在,中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的,恒定系差，可通过理论计算修正。,2.4.3 削弱系统误差的典型技术,消除或减弱系统误差应从根源上着手。,1
13、.零示法,当检流计G中 I=0,G只要示零精度高,2.替代法（置换法）,直流电桥平衡条件,步骤：1.调R3，使G=0，R3不动；2.调RS，使G=0，RX=RS,RS为标准电阻箱可调可读,3.交换法（对照法）,第一次平衡：WXl1=W1l2第二次平衡：WXl2=W2L1,WXl1WXl2=W1l2W2l1,4.微差法,条件：当待测量与标准量接近时,BX B.A,被测电池电压 x=B+A=9+0.1=9.1V测量误差由式（2.44）可求得：,=0.2%+5%(0.1/9)=0.2%+0.05%0.2%,可见，采用微差法测量，测量误差主要决定于标准量的误差，而测试仪表误差的影响被大大削弱。本例说明
14、，用误差为5的电压表进行测量，可得0.2%的测量精确度。,应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，消弱或消除仪器的系统误差。利用微处理器消弱系差的方法很多，如直流零位校准、自动校准、相对测量等，可参阅有关的课程。,2.5 最佳测量方案的选择,对于实际测量，我们通常希望测量的准确度越高即误差的总合越小越好。所谓测量的最佳方案，从误差的角度看就是要做到,（2.56）,（2.57）,当然，若能使上述各式中每一项都能达到最小，总误差就会最小。有时通过选择合适的测量点能满足这一要求，但是通常各分项误差,是由一些客观条件限定的，所以选择最佳方案的方法一般只是根据现有条件，了解各分项误差
15、可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小者作为现有条件下的“最佳”方案。,常用选择方法有：,1.函数形式的选择,当有多种间接测量方案时，各方案的函数表示式不同，应选其中总合误差 最小的函数形式。,前述电阻功率例中，当,，,问采用哪种测量方案较好？,方案1：P=UI,方案2 P=U2R,方案3：P=I2R,可见，在题中给定的各分项误差条件下，应选择第一方案PUI.,2.测量点的选择,在前面引用（满度）相对误差中曾指出，用指针式三用表电压、电流档测量时，应正确选择量程，使测值靠近满度，即测量点要选在满量程附近，测量结果的相对误差小。对电阻档测量点应选择何处呢？现介绍一般性方法。
16、,则,由误差合成公式（2.45），可求得绝对误差为,则相对误差表达式为,令,求极小值,可求得,结论：指针处于中央位置时，测量电阻的相对误差最小。,2.6 测量数据处理,通过实际测量得到的数据，需要进行处理，即计算、分析、整理后得出所需要的结果数据。有时候还要把测量数据绘制成表格、曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。本节着重介绍测量数据处理的基本知识和表示方法。,处理方式,表达式（有效数字、测量值、不确定度）,曲线图形,经验公式,有效数字的处理,1 有效数字,定义：有效数字，是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的所有各位数字。,例1 用10v指针式电压表
17、测得,U=5.6 4 V 三位有效数字,例2 0.0038K=3.8 两位有效数字,例3 0.026m 两位有效数字 0.0260m 三位有效数字,最末位有效数字常称存疑数，它主要由仪表所能达到的精度决定。例如用10V量程指针式电压表测得电压5.64V，这是三位有效数字组成的数据，这三位数中前二位是可从刻度上准确读出的，而最后一位是估读的，是含有误差的近似数，常称为存疑数。,存疑数还有一种含义，它可能发生末位的半个单位(0.5个单位)变化。例如，,有效数字与准确度的关系,数据 误差 准确到 18.4 k 0.1 k 100 18.40 k 0.01 k 10 18.400 k 0.001 k
18、1,有效数字的位数应取得与不确定度相一致,有误差的单位量级应与测量数据相配合,a 7900 kHz当频率误差为：1kHz 数据应写为 b 7.900 MHz 哪个对？c 7900 000 Hz d 7.9 MHz,2 数字的舍入（修约）规则,对五入可能带来误差,未使尾数为偶数，不便于除尽,经典的“四舍五入”的缺点：,规则,小于5舍,大于5入,等于5取偶,5后有数，舍5入1,5后无数或为零时,5前是奇数，舍5入1,5前是偶数，舍5不进,17.99518.00,14.985014.98,3.624563.625,测量中用：四舍六入五凑偶法则,三例都取4位有效数字,3.近似运算规则,在近似数运算中，
19、为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有参与运算的数据，在有效数字后可多保留一位数字作为参考数字，或称为安全数字。,1)在近似数加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据 小数位相同。,例2.24 求2643.0 987.7十4.187 0.2354=？,2643.0 987.7 4.19 0.24,3635.133635.1,2)在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字，而最后结果 应与有效位数最少的数据位数相同。,测量数据的表示方法,本节简要地介绍图示曲线和
20、经验公式的表示方法。,1.测量结果的曲线表示,把测量结果绘成曲线，可以直观形象地表示数据的变化规律，例如，三极管的输出特性曲线，放大器的幅频特性曲线等。,但由于测量结果中存在误差，数据有一定的离散性，难以作出一条光滑连续的曲线。需要采用一些专门的方法。这里介绍分组平均作图法。,1)作图要点,首先要选好坐标。一般宜选用直角坐标。有时要用极坐标。如果自变量的范围很宽，可以选用对数坐标。坐标的比例可以根据需要确定，二者分度可以不同，作曲线图应使用坐标纸。注意坐标的幅面以及数据点的标注方式。,曲线急剧变化的地方测量数据应多取一些。,注意曲线的修均。,2)用分组平均法修均曲线,将各数据点连成光滑曲线的过
21、程叫曲线的修均。由于测量误差的存在，不同的人员所作的曲线可能差异较大。,为了提高作图的精度，可用分组平均法进行曲线修均。这种方法是将相邻的24个数据分为一组，然后估计出各组的几何重心，再用光滑的曲线将重心点连接起来，用分组平均法进行曲线修均的方法如图2.21所示。由于这种方法减少了随机误差影响。从而使曲线较为符合实际。,图2.21 用分组平均法修均曲线,先看一个实例：,计算机三级考试中的测控题,一台反映釜的温度测量仪表的量程为200C1000C,且为线性刻度,在某个采样周期微机获得一组经八位ADC转换后的采样数据为:,D0H,C0H,CAH,CCH,DEH,则经中值滤波程序处理后,该仪表的显示
22、值为_C.,解 D0H=208 中值滤波:,C0H=192 192,202,204,208,222,CAH=202 800,=640,X=640+200=840,问题：这条线性曲线y=bx+a是怎样得出来的？,2.经验公式的确定,在实际应用中，经验公式，也称回归方程，是实验测量的基础上归纳出来的，可在一定的条件下使用。这种经验公式以数学表达式客观地反映事物的内在规律性，形式紧凑，且便于从理论上作一步分析研究，对认识自然界量与量之间关系有着重要意义,1)最小二乘法,最小二乘法的原理指出：在具有同一精度的测量值中，最佳值就是能使各,的平方和为最小的那个值，即,测量残差,测量结果的最可信赖值应在残差
23、平方和为最小的条件下求出。,最小。或者说，,2）回归分析法,回归分析法是处理多个变量之间相互关系的一种常用的数理统计方法。回归分析法包括两个方面的任务：一是根据测量数据确定函数形式，即回归方程的类型；二是确定方程中的参数。确定回归方程的类型，通常需要结合专业知识和实际情况来选择。,电子测量中，经常用到单变量的线性回归（例如y=bx+a），这里仅举一元线性回归的例子，即处理两个变量x和y之间的线性关系。这是工程上和科研中常遇到的直线拟合问题。例如，温度、湿度、压力等传感器的输出电压与温、湿度、压力之间就是这种直线方程(y=bx+a)关系。,例 在压力传感器校验测量中测得一组数据如表2.13所示，
24、这里x可以看作是压力（kg），y是传感器输出的电压值（V）。试用最小二乘法拟合，求表中实验数据的最佳曲线和经验公式。,表2.13 压力传感器测量原始数据,解：设要求的最佳曲线为线性方程：y=bx+a 如图2.22所示。,实际测量中有误差，可写成,解题步骤：,残差表达式,最小二乘法（测量结果的最可信赖值应在残差平方和为最小的条件下求出）,求上式的极小值，即对可变系数b 和a 进行偏微分,条件方程（满足最小二乘法条件的方程）,对b求偏微分,得条件方程（1），同理对a求极小值得条件方程（2）,（1）,（2）,条件方程,将10组测量的原始数据代入条件方程，再求正规方程：,正规方程,代入题中给出10个的测量数据，为计算方便先代入（2）,再将（2）式10个方程分别乘以xi即得（1）式的10个方程:,直线方程,解出正规方程(1)和(2)中的,a=9.54 b=0.039,得直线方程为:y=0.039x+9.54,画出曲线,作业：2.28本章小结见教材p.67,
