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1、,二、第二类换元法,第二节,一、第一类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,换元积分法,第四章,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,可导,则有,一、第一类换元法,定理1.,则有换元,公式,(也称,即,凑微分法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 求,解（一）,解（二）,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解（三）,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 求,解,一般地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 求,解,例.求,解:,想到公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明
2、：熟悉第一类换元法之后，就没有必要写出中间变量的代换过程,P160,公式(18)SCU,例3.求,想到,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(21)SCU,例4.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似,P160,公式(14,15)SCU,例5.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(19,20)SCU,常用的几种凑微分形式:,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.求,解:原式,例8.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9.求,解法1,解法2,两法结果一样,机动 目
3、录 上页 下页 返回 结束,例10.求,解法1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法 2,同样可证,或,(P199 例18),机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(16,17)SCU,例11.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,例14.求,解:原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例15 求,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,例14 设 求,令,例15.求,解:原式,机动 目录
4、上页 下页 返回 结束,小结,常用简化技巧:,(1)分项积分:,(2)降低幂次:,(3)统一函数:利用三角公式;配元方法,(4)巧妙换元或配元,万能凑幂法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用积化和差;分式分项;,利用倍角公式,如,ex13,P164,SCU,思考与练习,1.下列各题求积方法有何不同?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.求,提示:,法1,法2,法3,作业 目录 上页 下页 返回 结束,二、第二类换元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类换元法解决的问题,难求,易求,若所求积分,易求,则得第二类换元积分法.,难求，,定理2.设,是单调可导函数,且,具有原函数,证
5、:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则有换元公式,例16.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例17.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P160,公式(22)SCU,例18.求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可以不管具体形式,P160,公式(22)SCU,令,于是,机动 目录 上页 下页 返回 结束,可以不管具体形式,原式,例19.求,解:令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法一：三角代换,解法二：倒代换,小结:,1.第二类换元法常见类型:,令,令,令,或,令,令,机动 目录 上页 下页 返回
6、结束,第四节讲,根式代换,Ex21,P167,SCU,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.常用基本积分公式的补充(P205,P160(SCU),(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,川大教材没有公式(24),解:原式,(P205 公式(20),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例20.求,例21.求,解:,(P206 公式(23),例22.求,解:原式=,(P206 公式(22),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例23.求,解:原式,(P206 公式(22),根式代换；三角代换,例24.求,解:令,得,原
7、式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换,例25.求,解:原式,令,例16 目录 上页 下页 返回 结束,三角代换,1.已知,求,解:两边求导,得,则,(代回原变量),机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,作业,P2072(5),(10),(15),(20),(25),(30),(35),(40)(44),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 1.求下列积分:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,求不定积分,解：,利用凑微分法,原式=,令,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分子分母同除以,3.,求不定积分,解:,令,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
