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1、第一节 不定积分的定义和性质,一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质四、小结,例,一、原函数与不定积分的概念,定义1 设函数 在某区间上有定义，如果存在函数，对于该区间上任一点，使,则称函数 是已知函数 在该区间上的一个原函数。,原函数存在定理：,简言之：连续函数一定有原函数.,例,（为任意常数）,如果函数 在区间 内连续，那么在区间 内存在可导函数，,使 都有,关于原函数的说明：,（1）若，则对于任意常数，,（2）若 和 都是 的原函数，则,（为任意常数）,证：,（为任意常数）,都是 的原函数。,不定积分的定义：,在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数 称为 在区间
2、内的不定积分，记为。,积分号,被积函数,积分变量,积分常数,即：,求不定积分的中心问题是寻求被积函数 的一个原函数。,例1 求,解:,解:,例2 求,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、不定积分的基本性质,实例:,结论：,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,说明：,基本积分表,有一个导数公式就相应地有一个不定积分公式。,例3 求积分,解,例4 求积分,解,对被积函数稍加变形，化为指数函数形式。据公式（13）,现证(1),等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,三、不定积分的性质,例5 求积分,解:,例6 求积分
3、,解：,例7 求积分,解,例8 求积分,解,它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。,四、不定积分的几何意义,若 是 的一个原函数，则称 的图形是 的积分曲线。,积分曲线族 的特点是：,（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如，曲线 沿y轴平行移 位而得到。当 时向上移动；当 时，向下移动。,（2）由于，即横坐标相同点 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于，从而使相应点的切线平行。,例9：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解：,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,即 是 的一个原函数。,基本积分表(1),不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,
