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1、Nove.30 Mon.第四章 不定积分,不定积分的概念及性质；不定积分的换元法；不定积分的分部积分法；有理函数不定积分.,微积分产生的原因:,1.求物体在任意时刻的速度和加速度；,2.求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；,3.求最大值和最小值：获得炮弹射程最大的发射角问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；,4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围 成的体积，物体重心。,一元函数积分学基本问题,由此引出原函数与不定积分的概念；,2.计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷 累加问题。,由此引出定积分的概念。,定积分,不定积分,Newton Leibnize 公式(17世纪),一
2、个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。,原函数的存在性又可以由定积分决定。,1 不定积分的概念及其性质,原函数及不定积分不定积分的几何意义；基本积分表；不定积分的性质。,一.原函数(primitive function)与不定积分,定义：,问题：,(1)原函数是否唯一？,(2)若不唯一,它们之间有什么联系？,定理：,证明：,再证它是全部原函数。,原函数存在定理：,连续函数一定有原函数.,例1 求,解,解,例2 求,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线.,二.不定积分的几何意义,解：,简单的初值问题(initial problem)：,三.基
3、本积分表,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,由不定积分的定义，可知,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,基本积分表,是常数);,说明：,例 求积分,解,根据积分公式（2）,积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。,由导数的运算法则，可得积分的运算法则.,四.不定积分的性质,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,证明：,由条件,证明：,由条件,Nove.13 Wed.Review,1.原函数与不定积分的概念：,3.不定积分与微分的关系：,2.几何意义：,4.基本积分表；,5.不定积分的性质：,解：,解：,解：,解：,解：,解：,解：,解：,由题设,解：,解:,小 结,3.基本积分表(1).,5.不定积分的性质.,1.原函数的概念：,2.不定积分的概念：,4.求微分与求积分的互逆关系.,Hw：p258 1(双),2。,思考与练习,1.证明,2.若,提示:,提示:,3.若,是,的原函数,则,提示:,已知,4.若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:,已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,5.求下列积分:,提示:,
