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1、1,第二节 不定积分的换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,小结,integration by substitution,一、第一类换元法,1.定理,第一类换元公式,（凑微分法）,可导,则有换元公式,设,具有原函数,3,证,第一换元积分法,若遇到积分,不易计算时,通过变换,化为不定积分,来计算,积分后再将,代入.,4,例 求,法一,法二,解,5,法三,同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.,6,2、凑微分的常用方法,例 求,解,7,例 求,解,（分母配方）,8,例 求,解,凑微分的常用方法,9,（适当凑出常数）,例 求,例 求,10,凑微分的常用
2、方法,例7 求,解,11,凑微分的常用方法,12,例 求,解,13,凑微分的常用方法,14,凑微分的常用方法,例 求,解,15,且有很大的灵活性,加一项减一项、,可通过三角恒等变换、,一个因子等方法，,第一换元积分法是不定积分的基础，,代数运算、,上，下同除以,使积分变得易求.,16,例 求,解,17,例,解,原式=,例 求,解,18,例 求,原式,解,19,例 求,解,20,例 求,解,凑微分;,用倍角公式,降幂,再积分.,21,例 求,解,不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简.,22,例 求,解,23,小结,常见的凑微分类型有,24,小结,25,注,二、第二类换元法,26,
3、例 求,解,令,回代,27,例 求,解,令,回代,28,通过变换,利用相应的三角变换,相仿地,可算出,还可得到重要公式,29,以上几例所使用的均为,三角代换的目的,当被积函数中含有,令,令,令,双曲代换,回代时,一定要借助,辅助三角形.,三角代换.,是化掉根式.,一般规律:,双曲函数的恒等式,30,例,（三角代换很繁琐）,令,解,回代,31,例 求,解,令,回代,32,例,令,解,法一,回代,倒代换,可用来消去分母中的变量.,一些情况下(如被积函数是分式,分母的方幂,较高时),33,法二,回代,34,法三,35,为各根指数的最小公倍数）,当被积函数含有两种或两种以上,的根式,时，,可采用令,（其中,36,例,令,解,37,两类换元积分法,凑微分,三角代换、倒代换、根式代换,熟记基本积分表(189页),三、小结,第一换元积分法:,第二换元积分法:,38,练习,解,39,一题多解,（三种方法）,（五种方法）,40,练习,41,提示,42,例 求,解,令,法一,原式=,回代,43,法二,原式=,回代,44,（3）,解,令,45,综上，,
