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1、,常见数列求和的 四种方法,数,列,求,和,介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：,1、运 用 公 式 法,2、错 位 相 减 法,3、裂 项 相 消 法,4、通 项 分 析 法,数,列,求,和,一、运用公式法,运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。,如：等差数列的求和公式：,等比数列的求和公式：,还有一些常用公式：,请看下面例子：,数,例1 求数列 的前n项和,分析：,由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和
2、的和。,解：,归纳出：奇数列的前n项和,列,求,和,1,二、错 位 相 减 法,错位相减法在等比数列求前 n项和时用过；它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列。,求法步骤如下：,1、在 的两边同时乘于公比q,2、两式相减；左边为，右边q的同次式相减,3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。,看以下例子,数,列,求,和,例2 求数列 的前n项和,分析：,该数列可看作等差数列 等比数列 的积数列,这里等比数列的公比 q=,解：,两式相减：,所以：,运算整理得：,数,列,求,和,2,例3 设 求数列 的前n项和,分析：,这个数列的每一项都含有a，而a
3、等于1或不等于1，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需讨论进行,解：,两边同乘a:,两式相减：,所以：,运算并整理得：,数,列,求,和,2,三、裂 项 相 消 法,顾名思义，“裂项相消法”就是把数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法。,求 法 步 骤,1、先分析数列的项的结构，把通项式“裂”成几项。,（注意：裂开后的通项式当n=k和n=k+d时有相消为0的情况出现才行）,2、解题时；对裂开后的通项式令n取1，2，3，,n,然后相加得,3、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的 式子即为和式。,请 看 下 面 例 子,数,列,求,和,例4 求数列 的前n 项和
4、。,分析：,该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以1为首项，以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差3，就可以裂项了。,解：,数,列,求,和,3,例5 求数列 的前n项和,分析：,该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用“裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。,注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法”即可把分子化为常数。变化如下：,数,列,求,和,3,解：,共 n 项,数,列,求,和,3,例6 已知 求 S,分析：,由阶乘的性质可知：,所以：,于是该和式求值可
5、用“裂项相消法”,解：,数,列,求,和,3,四、通 项 分 析 法,通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。,求 法 步 骤,1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法,2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。,请 看 下 面 例 子,数,列,求,和,例7 求数列 的前n项和,分析：,由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：,通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。,从通项公式的结
6、构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。,通过这样分析，确定解题方向就方便了,解：,数,列,求,和,4,例8 求和,分析：,这个数列是数列1，2，3.n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。,(k取从1到n的自然数）,所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列,解：,数,列,求,和,4,例9 求数列 前n项和,分析：,由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项,通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了,该数列是自然
7、数列，求和容易。,n为偶数时,n为奇数时,此时的和式，转化为求数列,的通项公式,解：,数,列,求,和,4,分析：,(k 取1，2，3、n),所以：,数,列,求,和,4,分析：,所以：,每一项由三个连续自然数的积组成，前后两项有两个因子相同，很自然联想使用裂项相消求和。,对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累，在关键时产生联想是很有帮助的。,数,列,求,和,4,例11 设等差数列 的前n项为，且，若，求数列 的前n项和,分析：,由已知该数列是等差数列且已知，所以必能求出通项和前n项和 这样确定 就没问题了。,1、,2、,3、,现在来边解题边研究,解：,数,列,求,和,4,分析：,所以：,求和时，先分n为奇，偶数进行讨论，后考虑并合。,所以：,数,列,求,和,4,
