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1、1,第六章 二次型,第四节 二次型及其矩阵表示第五节 标准型第七节 正定二次型,第八节 正交替换化二次型为标准形,2,观察如下多项式：,共同点：多项式中每一项都是二次的。,我们把这样的多项式称为二次型。,一二次型的概念,3,n 个变量x1,x2,xn 的二次齐次多项式,(其中所有系数aij 是数域P 中的数),称为数域P上的一个n 元二次型，简称为二次型.,定义：,4,若系数aij 是复数，则称 f(x1,x2,xn),为复二次型.,若系数aij 是实数，则称 f(x1,x2,xn),为实二次型.,如：,是三元复二次型,说明:,是二元实二次型,不是二次型,5,式也可以写成,令,二.二次型的矩阵
2、形表示,6,称式为二次型的矩阵形式,则二次型可以写成：,也称为对称矩阵A的二次型.对称矩阵A 的秩,称为二次型 f(x1,x2,xn)的秩.,关系，称A为二次型 f(x1,x2,xn)的矩阵,f,A为对称矩阵,且与二次型 f 有一一对应,说明:,注:,二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是,平方项的系数,系数的一半。,7,如,则,8,例1：,写出二次型,的矩阵.,解：,二次型的矩阵为,9,例2：设实对称阵,求A 对应的二次型.,解：因为A 是3阶方阵，所以二次型有3个变量，,10,三可逆线性替换与二次型,的线性替换为,定义:设,11,则,即,若C 可逆，则称线性替换 为可逆线性替换,若矩阵C 是
3、正交矩阵，则称为正交线性替,换，简称为正交替换.,(或非退化线性替换),简称为可逆替换.,12,设二次型,为可逆替换，则有,A 是对称矩阵，,也是对称矩阵.,关 变,可逆线性替换将二次型变成二次型.,证：,定理:,B是它的矩阵。且,13,例3 设二次型,及可逆替换,二次型 f 的矩阵为,可逆替换的矩阵为,解：,14,为所求新二次型.,设,15,四矩阵的合同,设A,B 是两个n 阶方阵，如果存在可逆,矩阵C，使得,则称 A 与B 是合同的,易知,若存在可逆替换把二次型XTAX 化成,二次型YTBY,则A与B合同。,定义：,合同是矩阵间的一种等价关系，满足,说明:,反身性,对称性,传递性。,16,
4、数域 P 上n 元二次型能不能经过可逆替换,化成只含平方项的二次型？,而二次型只含平方,本问题也就是：数域 P 上的n阶对称矩阵能不,项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基,能合同于一个对角阵？,对于实数域上的n阶对称阵A,我们已经知,道:存在正交矩阵T使得,为对角阵,本章研究的基本问题是：,即A合同于对角阵。,从而对于实数域上的 n 元二,次型,存在正交替换X=TY 把它化成只含平,方项的二次型，即,17,为A的全部特征值。,问题:,对于任意数域 P 上二次型及对称矩阵 A,是否也有类似的结论？,即对于实数域上的二,替换化成只含平方项的二次型？,次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆,18,小结,1.二次型,2.二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应,3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同,19,21试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足,则,证：,n 是奇数，故有,20,23,设A为n 阶方阵，,数,解：,21,45.,取何值时，方程组,无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时求方程组的一般解。,解：,方程组的系数行列式为,22,方程组有唯一解.,时，,则方程组无解.,23,时，,方程组有无穷多解，,其一般解为,(x3 为自由未知量),
