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1、数学建模讲义,微分方程模型,微分方程模型,1、人口预报问题,3、捕食问题,2、传染病问题,0、总论与简例,根据规律建立模型,根据数学，物理，力学，化学等学科中已有的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射性规律，曲线的切线等，这些都涉及到函数的变化率，可根据相应的规律列出常微分方程。,0、总论与简例,微分方程的解为：,可求出经过1小时温度可以降到30度。,例1：物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比，如果物体在20min内由100度冷却到60度，那么经过多长时间此物体温度达到30度？解：牛顿的冷却定律：将温度为T的物体放入处于常温T0的介质中时,T 的变化速率正比
2、于T与周围介质的温度差。,微元法建模,在数学、力学、物理等许多教科书上会见到用微元分析法建立常微分方程模型的例子，它实际上是应用一些已知的规律或定理寻求某些微元增量之间的关系式，在同一个变量的变化间隔内，建立等式变化量输入量一输出量再简化为微分方程。,例2 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1 T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3 T2，T3为常数），导热系数为，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为）,一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同
3、，如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为一偏微分方程。,但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数T(x)。,热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。,由泰勒公式：,金属杆的微元x,x+dx在dt内由获得热量为：,同时，微元向空气散发出的热量为：,系统处于热平衡状态，故有：,所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:,这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解,模拟近似法建模,在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，对一些现象的规律
4、性目前还不是很清楚，了解并不全面，应用微分方程模型进行研究时，可根据已知的一些经验数据，在不同的假设下去模拟实际现象对如此所得到的微分方程进行数学上求解或分析解的性质，然后再去同实际作对比，观察分析这个模型与实际现象的差异性，看能否在一定程度上反映实际现象，然后对其解答做出解释,例3(交通信号黄灯的设置问题)在交通十字路口，都会设置红绿灯，为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。那么，黄灯应亮多长时间才最为合理呢？要避免让驾驶员处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。对于驶近交叉路口
5、的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车还是通过路口当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当决定通过路口时，必须有足够的时间使他能完全通过路口。这就考虑三个时间：做出决定的反应时间、决定停车后需要的停车时间或决定通过时安全通行时间,为了安全通过，黄灯持续的时间T应为驾驶员的反应时间T0、车通过交叉路口的时间T1和匀速通过安全刹车距离所需的时间T2之和。于是有,若道路限速为v0，交叉路口的宽度为L，典型的车身长度为l。考虑到车通过路口实际上指的是车的尾部必须通过路口，通过路口的时间为：,假设在整个过程中所受制动摩擦力不变，可设为F=-km，m是车辆的质量。利用Newton运动定律，制动距离
6、满足：,若设T0=1s，L=10m，l=4.5m，k=0.8g,可得T和v0的关系如图所示：,，,我国一些地区出台政策规定黄灯时间为4s是安全的，因为同时规定了通过交通路口时速不超过40m/s。,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。这里针对单种群增长模型，简略分析一下这方面的问题。一般复杂生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的，讨论其变化率
7、，建立微分方程模型!,离散化为连续，方便研究,建模示例1 如何预报人口的增长Malthus模型与Logistic模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,模型一：指数增长模型(Malthus模型),常用的计算公式,马尔萨斯（1788-1834）提出的指数增长模型(1798),x(t)时刻t人口,r 人口(相对)增长率(常数)（出生率死亡率）,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,随着时间增加人口按指数规律无限增长!,模型检验,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定。美国1990年的人口是248710000，而1970年是2032
8、11926，则得：于是从1970到1990年，美国人口的年平均增长率为,利用这个结果，来预测2000年的人口。此时而美国2000年人口普查结果是281400000，我们的预测偏离8%，模型预测到2300年美国的人口数量是552090亿，远远超过了现在人们对地球能维持的最多人口的估计。不得不承认这个模型从长期来讲是不合理的。,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,指数增长模型的应用及局限性
9、,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,模型2 Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(N),r(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,人口净增长率应当与人口数量有
10、关，即：r=r(N),（*）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。,模型2 Logistic模型,该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，该式指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计
11、规律，得到了实验结果的支持，这就是该式也被称为统计筹算律的原因。,求解分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看右图,模型的参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,K,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,模 型 检 验(1),用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较,实际为251.4(百万),模 型 应 用人 口 预 报,用美国17901990年人口数据重新估计参数,Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增
12、长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线：几乎完全吻合。,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程(*)所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的
13、解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,江苏省人口统计,作业：设法查找一部分人口数据(国家(内外)、地方皆可)，或有限区域内的某一种群数据，进行建模预报，并与实际数据比较，希望进一步改进模型。,作业格式一篇较完整的论文!(见下),建模的论文结构:,1、摘要问题、模型、方法、结果,2、问题重述,4、分析与建立模型,5、模型求解,6、模型检验,7、模型推广,
14、8、参考文献,9、附录,3、模型假设,建模示例二：传染病模型,模型1 最简单模型(早期模型)假设1：每个病人在单位时间内传染的人数是常数r；假设2：不考虑死亡问题；,问题分析:记x(t)表示t时刻病人数,且初始病人数x(0)=x0;,则t,t+t时间段内增加的病人数为：,得到微分方程：,模型评价:与传染初期比较吻合，以后的误差大。,模型2 中期模型假设1：每个病人在单位时间内传染的人数与未被传染的人数成正比r;假设2：不考虑死亡问题；假设3：总人数有限,问题分析:记x(t)表示t时刻病人数,且初始病人数x(0)=x0;y(t)为t时 刻未被传染的人数;总人数为n,即x(t)y(t)=n.,则t
15、,t+t时间段内增加的病人数为：,得微分方程：,模型分析评价:,1.不加控制，则最终人人得病；,2.计算传染高峰期t1：,说明:人口n越多、传染强度r越大，高峰来得越早!,缺点:没有考虑治愈问题和免疫问题。,模型3 精确模型假设1：研究对象分成三类：传染源x(t)、易感群y(t)和免疫群z(t);假设2：单位时间内每个传染源传染的人数与易感群的人数成正比;假设3：单位时间内传染源康复为免疫群的人数正比与传染源人数；假设4：不考虑死亡且总人数有限。,问题分析:记a传染率,b康复率;初始条件为:,得微分方程：,解此微分方程组：,是非线性方程组，不易求解，变形以y为自变量:,结论：当yb/a时，传染
16、源减少直至平息;当yb/a时，传染源先增加再减少直至平息;控制y非常关键研制疫苗、增强体质;增大b/a也非常关键隔离、治愈;,建模示例3：地中海鲨鱼问题,意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究,他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中,发现鲨鱼等的比例有明显增加(见下表),而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降,食用鱼增加,鲨鱼等也随之增加,但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？,他无法解释这个现象,于是求助于著名的意大利数学家V.Volterra,希望建立一个食饵捕食系统的数学模型,定量地回答这个问题.,捕获鱼中鲨鱼等食肉鱼的比例
17、,该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系,没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用,是最简单的模型.,1基本假设：(1)食饵由于捕食者的存在使增长率降低,假设降低的程度与捕食者数量成正比;(2)捕食者由于食饵为它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增长，假定增长的程度与食饵数量成正比。,2符号说明：,x食饵在t时刻的数量；,a食饵独立生存时的增长率；,e捕食者掠取食饵的能力；,f食饵对捕食者的供养能力.,y捕食者在t时刻的数量；,b捕食者独立生存时的死亡率；,K捕获能力系数.,3.模型(一)不考虑人工捕获,4.模型(一)求解,利用微分方程的相关理论，知原方程组的解是周期解，
18、设周期为T，则为了解释问题中的数据，需计算x、y的平均值：,5.模型(二)考虑人工捕捞,类似可计算x、y的平均值：,K捕获能力系数.,结论：增加捕捞后捕食者平均值降低，而饵食(食用鱼)平均值增加；进一步捕捞能力系数下降也导致捕食者(鲨鱼等)数量上升。“涸泽而鱼”除外,推广：解释杀虫剂的反效果杀虫剂在杀死害虫的同时也杀死其天敌益虫，这将导致害虫量的增加。,用Matlab软件求常微分方程的数值解,t,x=solver(fun,ts,x0,options）,help ode45/23.,首先，建立m-文件shier.m如下：function dx=shier(t,x)dx=zeros(2,1);dx
19、(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);,其次，建立主程序shark.m如下：t,x=ode45(shier,0 15,25 2);plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*)plot(x(:,1),x(:,2),6.模型检验,求解结果：,由上两图知：x(t)与y(t)都是周期函数,模型（二）考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为K，相当于食饵的自然增长率由a降为a-K，捕食者的自然死亡率由b增为 b+K,设战前捕获能力系数K=0.3,战争中降为K=0.1,则战前与战争中的模型分别为:,模型求解:,1、分别用m-文件shier1.
20、m和shier2.m定义上述两个方程,2、建立主程序shark1.m,求解两个方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 y(t)/y(t)+y(t),实线为战前的鲨鱼比例，“*”线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,Volterra的模型揭示了双种群之间内在的互相制约关系，成功解释了DAncona发现的现象。然而，对捕食系统中存在周期性现象的结论，大多数生物学家并不完全赞同，因为更多的捕食系统并没有这种特征。,一个捕食系统的数学模型未必适用于另一捕食系统，捕食系统除具有共性外，往往还具有本系统特有的个性，反映在数学模型上也应当有所区别。考察较为一般的双种群系统.,推广
21、：较一般的双种群生态系统讨论,一般的双种群系统,仍用x1(t)和x2(t)记t时刻的种群量(也可以是种群密度),设,Ki为种群i的净相对增长率,Ki随种群不同而不同，同时也随系统状态的不同而不同，即Ki应为x1、x2的函数。,Ki究竟是一个怎样的函数,我们没有更多的信息.不妨再次采用一下工程师们的原则,采用线性化方法(取常数是Malthus模型,不实用).这样,得到下面的微分方程组:,它不仅可以用来描述捕食系统。也可以用来描述相互间存在其他关系的种群系统。,式中a1、b2为本种群的亲疏系数,a2、b1为两种群间的交叉亲疏系数.a2b10时,两种群间存在着相互影响,此时又可分为以下几类情况:,i
22、)a20,b10,共栖系统;,ii)a20(或a20,b10),捕食系统;,iii)a20,b10,竞争系统.,i)-iii)构成了生态学中三个最基本的类型,种群间较为复杂的关系可以由这三种基本关系复合而成.,模型是否具有周期解,不同的系统具有不同的系数，在未得到这些系数之前先来作一个一般化的讨论。,讨论系统的平衡点:,如果系统具有非平凡平衡点 应满足,均为平凡平衡点。,即：,若系数满足:i)a1b2a2b10,ii)a1b0(ab2)ab2(a1b）则系统不存在周期解！(无圈定理),补充差分方程,1.定义对一数列an，把数列中的和前面ai(0in)关联起来的方程叫做差分方程,差分方程也叫递推关系.,差分初值问题,例:在一个平面上有n个圆两两相交，但任三个圆无公共点.设此n个圆将平面分成an个区域，试建立关于an的差分方程.,2.解法常系数线性差分方程的解法,差分方程的特征方程,基于此特征方程，可得到与常系数线性微分方程类似的结论！,k阶常系数线性齐次差分方程形如：,单根、重根、复根、非齐次都类似！,练习：,
