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1、2.2 广义矩估计（GMM,Generalized Method of Moments）,一、广义矩估计的概念 二、广义矩估计及其性质 三、正交性条件和过度识别限制的检验 四、关于2SLS与GMM关系的讨论,关于GMM的主要文献,关于GMM最早的系统的描述L.Hansen,1982:Large Sample Properties of GMM Estimation,Econometrica 50,p1029-1054关于GMM 的总结Pagan and M.Wickens,1989:A Survey of Some Recent Economertic Methods,Economic Jou
2、rnal 99,p962-1025关于GMM发展的讨论R.Davidson and J.MacKinnon,1993:Estimation and Inference in Econometrics,New York Oxford Univ.Press,一、广义矩估计的概念,1、概念,广义矩估计方法是基于模型满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般化。如果模型的设定是正确的，则总能找到该模型实际满足的若干矩条件而采用GMM估计。,广义矩估计方法发展的导向:解释变量的内生性问题。模型的过度识别问题。模型随机项分布的设定问题。,GMM估计包容了许多常用的估计方法，普通最小二乘法
3、、工具变量法、最大似然法，甚至二阶段最小二乘法都是它的特例。,技术方面的优越性无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列相关。无须进行高阶矩阵的求逆运算。,参数的矩估计（补充）,参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。,样本的一阶矩和二阶矩,总体一阶矩和总体二阶矩的估计量,总体参数（期望和方差）的估计量,参数的广义矩估计,如果选择的矩估计方程个数
4、多于待估参数个数。使得欧氏距离函数 达到最小：,矩条件数等于待估参数数目,二、计量经济学模型的广义矩估计及其性质,估计方法的原理,一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。,一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。,工具变量估计的正规方程组。,工具变量估计正规方程组的解就是,一阶极值条件的解。,如果工具变量Jk，并且对不同的矩条件加权，考虑随机项存在异方差和序列相关,Arg,Argument,自变量、宗数W矩阵的阶数：JJ,2、以多元线性模型为例,如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：,该方程组是如何得到的？,如何从矩条件出发得到该方程组？,如何求解该方程组？,如果x2为随机变量，z1为它
5、的工具变量，IV的正规方程组为：,为什么将x2换为z1？,如何求解该方程组？,该方程组是如何得到的？,4个等于0的矩条件，求解4个参数,如果x2为随机变量，z1、z2 为它的工具变量，GMM关于参数估计量的矩条件为：,如何求解该方程组？,5个等于0的矩条件，求解4个参数,该方程组是如何得到的？,3、GMM估计量,min Q()=(1/n)Z(Y-X)W(1/n)Z(Y-X)的1阶极值条件（偏导为0）：-2XZWZY+2XZWZX=0 XZWZX=XZWZY这是一个有K个未知参数，K个方程的线性方程组。当lK时，ZX是一个列满秩于K的矩阵。从而(XZWZX)KK非奇异，于是有：=(XZWZX)-
6、1XZWZY即为原模型Y=X+的一个广义矩估计量。,如果l=K，这时ZX为KK方阵且可逆。于是：=(ZX)-1W-1(XZ)-1XZWZY=(ZX)-1ZY 可见，GMM=IV,这时W的选择对结果无影响。如果lK，这时根据W选取的不同，有不同的解GMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满足一致性。尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。,4、权矩阵的选择,关于权矩阵的选择，是GMM估计方法的一个核心问题。,权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条件给予较大的
7、权重，对估计较不精确的矩条件给予较小的权重。,如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n个样本点之间的关系。W应是(1/n)Var(Z)-1的一致估计。权矩阵的阶,Hansens(1982)提出最佳的权矩阵为：,L.Hansen,1982:Large Sample Properties of GMM Estimation,Econometrica 50,p1029-1054,若随机误差项存在异方差且不存在自相关，White(1980)提出权矩阵的估计量为：,White,1980:A heteroskedasticity-consistent conv
8、ariance matrix and direct test for heteroskedaticity,Econometrica 48,817-838,Eviews 中GMM方程设定页面选择“cross section”，即为该情况。,L=0,若随机误差项存在自相关，Newey和West(1987)提出权矩阵的估计量为：,Newey and West,1987:A Simple positive semi-definite,heteroskedasticity and Autocorrelation consisitent covariance matrix,Econometrica 55,
9、703-708,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Fixed，再填写NW即为该情况。其中Kernel options选择Bartlett，即是：,其它选择的含义 Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Fixed，如果填写1个具体的数字，例如2，表示L=2。,Eviews 中GMM方程
10、设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bartlett，然后在Bandwidth selection中选择 Andrews，表示采用Andrews1991年论文中提出的选择方法。Andrews,1991:Heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix estimation,Econometrica 59,817-858,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Bar
11、tlett，然后在Bandwidth selection中选择 Variable-Newway-West，表示采用Newey-West 1994年论文中提出的选择方法。Newey and West,1994:Automatic lag selection in covariance matrix estimation,Review of Economic Studies 61,631-,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons的Kernel options中选择Quadratic，然后在Bandwidth selection中进行选择。表示采用Q
12、uadratic 核函数。,Eviews 中GMM方程设定页面选择“time series”，在HAC optons中选择Prewhitening,然后在Kernel options中和Bandwidth selection中进行选择。表示在权矩阵计算之前，设置简单的AR(1)模型，加到估计的模型中。,5、估计方法的步骤,采用OLS估计模型，求得参数的一组估计量，目的在于求得权矩阵的估计量。计算权矩阵的估计量。如果采用Newey和West(1987)提出的权矩阵估计量，则要首先选择L的值。当模型不存在序列相关时，取L=1；当模型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断L的取值。权矩阵为JJ阶矩阵
13、。将权矩阵的估计量代入二次型表达式，得到参数的GMM估计量。迭代,6、例题（GMM的演示）,居民消费(用X表示)由GDP(用Y表示)和X(-1)解释。因为GDP和居民消费互为因果，具有内生性，宜采用IV或者GMM估计。采用OLS估计模型以常数项、Y、X(-1)作为工具变量构造矩条件，进行GMM估计以Y(-1)作为Y的工具变量，进行IV估计以常数项、Y(-1)、X(-1)作为工具变量构造矩条件，进行GMM估计以常数项、Y、Y(-1)、政府消费G作为工具变量构造矩条件，进行GMM估计,数据,采用OLS估计模型,采用GMM估计，以常数项、Y和X(t-1)构造矩条件,采用IV估计，以Y(t-1)作为Y
14、(t)的工具变量,采用GMM估计，以常数项、Y(t-1)和X(t-1)构造矩条件,采用GMM估计，以常数项、Y(t-1)、X(t-1)和G构造矩条件,估计结果讨论以常数项、Y、X(-1)作为工具变量构造矩条件进行GMM估计，与OLS估计等价，OLS是GMM的特例；以常数项、Y(-1)、X(-1)作为工具变量构造矩条件进行GMM估计，与以Y(-1)作为Y的工具变量进行IV估计等价，IV是GMM的特例；以常数项、Y、Y(-1)、政府消费G作为工具变量构造矩条件，进行GMM估计，矩条件多于待估参数数目，是真正意义的GMM估计，估计结果与权矩阵有关。,三、正交性条件和过度识别限制的检验,1、提示,对于
15、GMM，关键是两项检验：一是检验过度识别限制是否有效。即Jk的那部分是否有效。如果经过检验无效，那么GMM在这个意义上就没有优越性。二是检验构造的矩条件是否成立。如果矩条件不成立，就要从模型设定方面寻找原因。,2、矩条件和过度识别约束的检验,如果拒绝原假设，意味着并非所有的总体矩条件都成立。,在应用软件中，被称为J统计量，但应该是nJ2(l-K),检验步骤得到参数的一个一致估计计算残差 计算检验统计量如果Test小于临界值，将不拒绝过度识别限制有效的假设。如果拒绝原假设，而且没有进一步的信息，就不能判断哪个矩条件不成立，或者说哪个工具变量无效。,当l=K时，称模型参数“恰好识别”，这时不论总体
16、矩条件是否真的成立，都存在唯一解，意味着当l=K时，总体矩条件不可检验。当lK时，称模型参数“过度识别”，该检验称为过渡识别约束检验。过渡识别约束检验也称为Sargan检验。,当随机误差项同分布且序列不相关时，检验统计量具有特别简单的形式：,首先求出GMM估计量，计算残差项ei，再用残差项ei对所有的工具变量Zi做OLS回归，称为辅助回归；然后用上述辅助回归的可决系数R2乘以样本容量n。,直观上看很清楚，如果0假设成立，则工具变量应该与残差项正交。于是从辅助回归得到的R2将很小，此时将不拒绝过度识别限制有效的假设。,四、关于2SLS与GMM关系的讨论,1、OLS是GMM的特例,选择解释变量作为
17、工具变量构造矩条件，权矩阵为单位阵，GMM即为OLS。参数估计值相同参数估计量的方差协方差矩阵一般不相同,2、ML是GMM的特例,用对数似然函数的导数构造等于0的矩条件时，所表示的GMM等价于ML。,3、IV是GMM的特例,GMM中方程个数等于参数个数时，即等价于工具变量估计法。,4、2SLS是GMM的特例,2SLS是工具变量估计方法的特殊情形，而工具变量估计是GMM估计的特殊情形。当模型误差项是同方差且序列不相关时，如果GMM中利用了所有先决变量，2SLS与 GMM估计等价。,2SLS估计,第1阶段估计,第2阶段估计,GMM估计,大括号部分的一阶极值条件,联立方程模型理论的地位问题如果对模型系统中的每个方程采用GMM，联立方程模型的识别理论、估计理论就失去价值。在新的教科书中出现淡化联立方程模型理论的趋势。VAR类模型的发展，使得联立方程结构模型的预测地位下降。联立方程结构模型依据经济系统行为关系构建，其结构分析和政策评价的功能是不可替代的。,
