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1、,43 不定积分的换元积分法与分部积分法,案例研究,案例4.3.1 太阳能的能量：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,某一太阳能的能量 f 相对于太阳接触的表面面积的,变化率为,且当,时，,试,求 f 的函数表达式.,分析 该问题实际上是求不定积分,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,案例4.3.2 天然气的产量：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Fore
2、ign Economic Relations&Trade College,工程师们发现，一个新开发的天然气井t月的总产,量P（单位：,）的变化率为,试求总产量函数,分析 该问题实际上是求不定积分,问：以上两个案例，实际上是需要解决什么问题？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,抽象归纳,第一类换元积分法,例 求积分,问：你能验证上式的正确性吗？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,结论
3、 若所求的积分,中的被积函数,可化为,则有,通常把这种求不定积分的方法叫做第一类换元积,分法,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,问：上述四步中，关键是哪一步？,关键：选择适当的变量代换,将,凑,成,因此第一类换元法又叫凑微分法,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例1 求,解,简写为：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Re
4、lations&Trade College,案例的解,将,时，,代入上式，得,所以，所求,f 的表达式为,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例2 求,解,课堂训练：,.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例3 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,因为,所以,利用例3的结
5、论，可求得,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例4 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例5 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,第二类换元积分法,例 求积分,分析 设,于是,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Econom
6、ic Relations&Trade College,结论：,这种求不定积分的方法叫做第二类换元积分法.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例6 求,解 设,即,于是,再将,代回后整理，得,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例7 求,解 设,则,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade Colleg
7、e,因为,则,代入上式得,本题中的变量代换称为三角代换.,利用三角代换，,可求解含有,的函数的积分问题.,及,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,分部积分法,例 求积分,分析 这类积分是两类函数的乘积，不便于用上述,方法求积分。下面我们研究一种新方法。,两边积分，得,即,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,上述公式称为分部积分公式，用分部积分公式求积,分的方法称为分部积分法.,上式可改
8、写为：,分部积法的步骤：,问：分部积分法的基本思想是什么？（转化）,将一个函数的积分问题转化为另一个函数的积分问,题，从而求得其解。,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例8 求,解,讨论 求上述积分时，若将x凑微分，可以求出积,分吗？,凑微口诀：指三幂对反,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,案例的解,依题意，当,时，,代入上式，得,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 H
9、unan Foreign Economic Relations&Trade College,例9 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例10 求,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,例11 求,解 设,即,则,于是,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,小结：,1第一类换元积分法（凑微分法）,2第二类换元积分法,3分部积分法：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College,
