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1、2.1.1倾斜角与斜率教材分析本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修第一册第二章直线和圆的方程，本节课主要学 习直线倾斜角与斜率。直线的倾斜角与斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线 的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识。它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实 际应用，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法，并初 步体会坐标法的思想。教学目标与核心素养课程目标学科素养A. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.B. 理解直线的倾斜角和斜率的概念.C. 掌握倾斜角和斜率之间的关
2、系.D. 掌握过两点的直线斜率的计算公式.1. 数学抽象：直线倾斜角与斜率的概念2. 逻辑推理：倾斜角与斜率的关系；3. 数学运算：直线斜率的计算.4. 直观想象：直线的倾斜角教学重谁点,1. 教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系2. 教学难点：过两点的直线斜率的计算公式.课前准畚多媒体一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度=%0表水平距离 ad示上坡人v0表示下坡,为了实际应用与安全,在道路铺设时常要规
3、B水平距离D上划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢?二、探究新知一、直线的倾斜角当直线l与x轴相交时，以x轴为基准,.x轴正向与直线定义l向上的方向之间所成的角a叫做直线l的倾斜角通过生活中的 现实情境，提出问 题，帮助学生建立倾 斜角与斜率的概念， 引导学生回顾初中 坡脚概念及三角函 数知识，为直线倾斜 角和斜率作知识上 的准备。规当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为兑0记法图示范围0a180(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;作用(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可点睛：倾斜角还可以这样定
4、义:在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角.并规定:与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.1.下列图中表示直线倾斜角为()由坐标系中的直 线，让学生理解直线 倾斜角和斜率的概 念。发展学生逻辑推 理，直观想象、数学 抽象和数学运算的 核心素养。答案:C答案:90、直线的斜率1.定乂与表示直线的倾的斜率直线斜率不存在斜角）记法范围作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度常用小写字母k表示，即k=tan a2.直线村1的倾斜角以=一条直线的倾斜角a的正切值.叫做这条直线a=9090 ;0； （0
5、,+叫；（*, 0）定义（a为a手90图示4倾斜角（范围）a=0090a=90a180斜率（范围）不存在2.填表:斜率与倾斜角的对应关系我们知道，两点也可以唯一确定一条直线。fil当a为锐角时，a =ZQPP2R件PQ中，tan a = tan ZQPP当12 PQ若为钝角呢?， X2你还能用其它方法推导这个公式吗?通过典型例题 的分析和解决，让学 生加深对直线倾斜 角和斜率概念的理 解，提升概念运用能 力。发展学生数学抽 象、直观想象、逻辑 推理的核心素养。3. 思考辨析(1) 任一直线都有倾斜角，都存在斜率.()(2) 倾斜角为135的直线的斜率为1.()(3) 若一条直线的倾斜角为a，则
6、它的斜率为k=tan a.()(4) 直线斜率的取值范围是(一8，+8).()【解析】(1)X倾斜角为90时，斜率不存在.(2)X 斜率应为一1.(3)X 斜率有可能不存在.(4)。4. 一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于答案：45 ,k=tan a=1.a=45.5. 如图，直线I，I，13的斜率分别为k1，k2, k3,则()1 D. k1k3k2如果知道直线上的两点，怎么样来求直线的斜率(倾斜角)呢?三、直线的斜率公式如果直线经过两点P (x ,y ),P (x ,y ),(x手x )，则直线的斜率公式为1 1 12 2 212k=y2y!.X2-X1点睛：1.运用公式的前提是X
7、机，即直线不与x轴垂直. 122. 斜率公式与P ,P在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的1 2斜率是相同的.3. 需注意公式中横、纵坐标之差的顺序，也可以写成k=y .即下标的X2 -X1顺序一致.6.已知点P (3,5),P (-1,-3),则直线PP的斜率k等于()121 2A.2B.1C.1D.不存在2答案:A例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角(0180)后,恰好与j轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？思路分析:画草图一标记a一找倾斜角与a的关系一求倾斜角解:由题意画出如下草图.由图可知：当a为钝角时，倾斜角为a-90,当a为锐角时，倾斜角为a+90,当a为直角
8、时，倾斜角为0.综上直线1转动前的倾斜角为a + 90(0 a 90。), 综上，直线1转动刖的倾斜角为七90。(90。M a 180)直线的倾斜角的求法求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形，找 准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.跟踪训练1,设直线1过坐标原点,它的倾斜角为a,如果将1绕坐标原点按逆时针方向旋转45，得到直线1，那么1的倾斜角为()11A.a+45B.a-135C.135-aD,当 0旬135时，倾斜角为 a+45;当135180时，倾斜角为 a-135解析:根据题意，画出图形，如图所示:因为0旬 180,显然A,B,C未分 类讨论，均不全面，不合题意.通过画图
9、(如图所示)可知:当0a135 时，l的倾斜角为a+45;当135旬0，解得1m2. ml -2m延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为N(3m，2m)”,其他条件不变,结果如何？解:(1)由题意知地盆=1,解得m=2.ml -3m(2)由题意知m+1=3m,解得m=1.2直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在.(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k= (其中x片2)进行计算.金题典例 光线从点A(2,1)射到j轴上的点0经j轴反射后过点 B(4,3)，试求点Q的坐标 及入射光线的斜率.解:(方法1)设Q(0,j)，则由题意得kQA=-kQB
10、.,:kk =耳,izx=_QA 2，kQB 4，24 解得j-,即点Q的坐标为(0,),.k =kjA=1=-3 3入 Q 23(方法2)设Q(0,j),如图，点B(4,3)关于j轴的对称点为B4,3), kAB-24 -3，由题意得A、Q、B 点共线.从而入射光线的斜率为kAQ-kAB =1.所以，有学提，解得J-53,点Q的坐标为(0,5).aII 111102x光的反射问题中，反射角等于入射角，但反射光线的斜率并不 等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时，它们之间是互为相反数的关 系.另外，在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解跟踪训练2 一束光线从点A(-2,3)射入，经x轴上点P反
11、射后，通过点 B(5,7),求点P的坐标.解:(方法1)由光的反射原理，知kAp-kBp, 设P(x，0)，则岩-%，解得x-土，即点P的坐标是(10,0).(方法2)由题意，知x轴是镜面,入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为 A1(-2,-3),则点A1应在反射光线所在的直线上，即A1,P,B三点共线,即 kA p-kpR,d = N,解得x,即点P的坐标是(0).A1rPB x25-x1010四、小结_1使余斗用1粤翥翠1h w乂 1五、课时练通过总结，让学 生进一步巩固本节 所学内容，提高概括 能力。教学反思教学的指导思想是：让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的过程。因为数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结 论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法。因此，本课设计上以“引入一探究一归纳”模 式作为教学特色。同时教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程 真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学。注意在探究问题时留给学生充分的时间，使 数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
