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1、AB(3)题-2八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型(三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径)方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2 = a2+ b2 + c2，即2R = ；a2 + b2 + c，求出r例1(1)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16，则这个球的表面积是(C)A. 16兀 b. 20k c. 24兀 d. 32兀(2) 若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是9兀解：(1) V = a2h = 16， a = 2， 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24， S = 24
2、兀，选 c；(2) 4R2 = 3 + 3 + 3 = 9，S = 4kR2 = 9k(3) 在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM MN，若侧棱SA = 2、；，则正三棱锥S -ABC外接球的表面积是。36兀解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图(3)-1，取AB,BC的中点D, E，连接AE, CD，AE, CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH 平面 ABC，SH AB，AC = BC，AD = BD，. CD AB，. AB 平面 SCD，/ AB SC，同理：BC SA，AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图(3) -
3、2， AM MN，SB/MN，AM SB， AC SB，. SB 平面 SAC，SB SA，SB SC， SB SA，BC SA，SA 平面 SBC，. SA SC，故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 = (2很)2 + (2*)2 + (2*)2 = 36，即 4R2 = 36，正三棱锥S - ABC外接球的表面积是36k(4 ) 在四面体S - ABC中，SA 1平面人B C/BAC = 120。,SA = AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为(D) a.11k b.7k cJ3k d3k(5) 如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6
4、、4、3，那么它的外接球的表面积是(6) 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：(4)在 AABC 中，BC2 = AC2 + AB2 2AB - BC - cos120 = 7 ,-BC./7 2BC = y7 , AABC的外接球直径为2r =-sin ABAC 、；3、3(2R)2 = (2r )2 + SA2 =2 + 4 = 40， S =芈，选 D(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c g R + )，则ab = 12 bc = 8，abc = 24，/. a = 3，b = 4，
5、c = 2，(2R)2 = a2 + b2 + c2 = 29，S = 4兀R2 = 29兀， ac = 6. 一 _一 3 _ .再(6)(2R)2 = a2 + b2 + c2 = 3，R2 = ，R =42V = 4兀R 3 = 4兀.豆Q兀3382类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1.题设：如图5，PA 平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O ；第二步：O1为AABC的外心，所以OO11平面ABC，算出小圆O的半径0D = r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a _ bsin A sin
6、 Bcsin COO = 2 PA ；2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r)2 = 2R = PA2 + (2r)2 ； R 2 = r 2 + OO2 = R =顼 r2 + OO；2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是AABC的外心=三棱锥P ABC的三条侧棱相等=三 棱锥P ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O，则P, O, O1三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1 = r ,再算出棱锥的高PO1 = h (也是圆锥的高)； 第三步：勾股定理：OA2 = O1A
7、2 + O1O2 n R2 = (h R)2 + r2，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()C16kA.女B. 2兀C.D.以上都不对解：选 C,(把-R)2 +1 = R2, 3 - 2压 + R2 +1 = R2, 4 - 20 = 0,R =S = 4kR 2 =四兀3，3类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)1. 题设：如图9-1,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ；一a b c _-第二步：在ApA
8、C中，可根据正弦定理=; = 2 R，求出Rsin A sin B sin C2. 如图9-2，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)3. 如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是AABC的外心 =三棱锥P - ABC的三条侧棱相等=三棱P - ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶 点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O，则P, O, q三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1 = r，再算出棱锥的高PO1 = h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 = O1A2 + O1O2
9、n R2 = (h - R)2 + r2，解出 R4. 如图9-3,平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且PA AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r)2。2R = yPA2 + (2r)2 ；J R 2 = r 2 + OO2 = R =扣 + OO2例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2：3，则该球的表面积为。(2)正四棱锥S - ABCD的底面边长和各侧棱长都为y5，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(2)方法一：找球心的位置，易知r = 1，h = 1，h = r，故球心在正方形的中心
10、ABCD处，R = 1，V =解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R = 7，S = 4兀R2 = 49兀，3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，2R = 2 、4兀R=1，V = 5(3)在三棱锥P- ABC中，PA = PB = PC = 3侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为()A.兀 B. ? C.4兀 D.兰33-再C、解：选D，圆锥A，B,C在以r =的圆上，R =1（4）已知三棱锥s ABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径, 且SC = 2，则此棱锥的体积为
11、（）A23技技A B C.D. 6 632 :36 解：OO1 = w R2 r2 = 0（_）2 = 3h -巨，k=1 sh -1.巨她 q333 436类型四、汉堡模型（宜棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任 意三角形） 第一步：确定球心O的位置，O是AABC的外心，则OO 1平面ABC ； 第二步：算出小圆O1的半径AO1 r，。广2 AA1 2h（ A = h也是圆柱的高）；h（2）2，解出Rh、八-第二步.勾股定理.OA2 O A2 + O O2 n R2 = （）2 + r2 n
12、R r2 +112例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该 六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为87 1解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a=5，313 33*397 云 八/ v 31、底面积为S = 6不-（2）2 =丁，匕=sh = 丁h = 8, .=芸，R2 =（项）2 +（2）2 =1，4兀R1，球的体积为k=-3（2）直三棱柱ABC A1 B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB AC= AA1 = 2ZBAC = 120，则此球的，表面积等于。解：BC = 2（3， 2r =
13、 sin。= 4， r = 2， R = 5， S = 20（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB = 3, AD = 2, /AEB 60，则多面体 E ABCD 的外接球 的表面积为。16兀 解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r =、3，OO1 =1勇、亓33 13R = 5 + 3 = 2 ；法二：OM =3，r = O D =亍，R2 = - + = 4，R = 2，S = 16兀兀(4)在直三棱柱ABC-ABC中，AB = 4,AC = 6,A = ,AA = 4则直三棱柱ABC-ABC的外接球的i i L31111160 表面积为。E兀 解
14、析：BC2 = 16 + 36 - 2 - 4 - 6 -1 = 28，BC = 272R2 = r2 + （竺2 =癸 + 4 = 40，S = 160 兀2333类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11） 第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出通CD和由成的外心H1和H2 ； 第二步：过%和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心。，连接OE,OC ； 第三步：解AOEH1，算出OH1，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH; = OC2例5三棱锥p - ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均
15、为边长为2的正 三角形，则三棱锥P- ABC外接球的半径为.c c 24解析：2r = 2r =飞，r = r _ ，12 sin 60 异 12 v3法二：O2H = 土，OH 日，AH = 1，R2 = O H2 + r2 = 3 + 3 = 3，R = ；，一 一 5.,.15R2 = AO2 = AH2 + O H2 + qO2 = -，R =七_ 类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB = CD，AD = BC，AC = BD）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b
16、,c，AD = BC = x，AB = CD = y，AC = BD = z，列方程组，_,x 2 + y 2 + z 2(2 R )2 = a 2 + b 2 + c 2 =a 2 + b 2 = x 22 + z 2 第三步：根据墙角模型，2R =3 + b2 + C2 =,V 2X2 + 2+ z 2：x2 + 2+ Z2R2 ，R = q - ，求出 R，8 V 8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三
17、个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）3把 把八3A.B. 一 C. 一 D. 一43412解：（1）截面为APCO，面积是2 ；（2）高h = R = 1，底面外接圆的半径为R = 1，直径为2R = 2，一 a 入 -_33%设底面边长如，则2R =布=2，a =.3 S =不a2 = 丁，题解答图三棱锥的体积为V = 3 Sh = 4-（3）在三棱锥A BCD中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = 4,则三棱锥A BCD外接球的表面积为。兀解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，则a2 + b
18、2 = 9， b2 + c2 = 4， c2 + a2 = 16 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29， 2(a2 + b2 + c2) = 9 + 4 +16 = 29，72929 c 29a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 = S =兀2 一22(4)如图所示三棱锥A-BCD，其中AB =CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7, 则该三棱 锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110，a2 + b
19、2 + c2 = 55，4R2 = 55，S = 55兀【55兀；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为、2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R = /3，R=?，类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设：ZAPB = AACB = 90，求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA = OB = OC = OP = 1 AB，:. O为三棱锥P - ABC外接球球心，然后在OCP中求出半 径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面
20、角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7（1）在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B - AC - D，则 四面体ABCD的外接球的体积为（）125125125125A.=兀B. *兀C. 兀D. k兀12963544 125 125冗解：（1）2R = AC = 5，R = -，V = -nR3 = -k-=，选 C23386（2）在矩形ABCD中，AB = 2，BC = 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得 三棱锥 A - BCD 的外接球的表面积为.解析：（2） BD 的中点是球心 O，2 R = BD =（13，S = 4kR2
21、 = 13k ；类型八、锥体的内切球问题1 .题设：如图14,三棱锥P- ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；第二步：求DH = 3 BD，PO = PH - r，PD是侧面AABP的高;OE PO第三步：由Apoe相似于APDH，建立等式：= ，解出rDH PD2.题设：如图15,四棱锥P- ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH = - BC，PO = PH - r，PF是侧面APCD的高；OG PO第三步：由ApOG相似于ApFH，建立等式：= ，解出HF PF3.题设
22、：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径C图15第二步：设内切球的半径为r，建立等式:匕-ABC匕-ABC 匕-PAB 匕-PAC+ V nO - PBC方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第三步：解出r =3VP ABCO 一 AB O 一 PA O 一 PA O 一 PBC习题：1 .若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA = 2，SB = SC = 4，则该三棱锥的 外接球半径为（）A. 3 B. 6 C. 36 D. 9解：【A】（2R）2 f 4 +16 +16 = 6，R = 3【三棱锥有
23、一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】_2.三棱锥S - ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA = 2拓，则该三棱锥的外接球体积等于.32兀T.一_ -4 一 32 兀(2R)2 = 4 +12 = 16，R2 = 4， R = 2，外接球体积兀 8 = 3,C 容 c解析：2尸= m = 2 sin 60。【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于.242解析：AABC外接圆的半径为，三棱锥S - ABC的直径为2 R = =，：sin 60。3
24、“ 4小 4832岳外接球体积V = -R3 =-兀.=一27-33% 32/ PAC边长为2的正三角形，外接球半径R =，侦3或R2 = （R 一 *3）2 +1， R = _,，八 34. 三棱锥P- ABC中，平面PAC 平面ABC， 则三棱锥P - ABC外接球的半径为.解析：APAC的外接圆是大圆，2R =二=_ sin 60。35. 三棱锥P一 ABC中，平面PAC 平面ABC， 则三棱锥P - ABC外接球的半径为.4 r 2，R = =，v3AC = 2，PA = PC = 3，AB BC，AB BC，解析PA2 + PC2 - AC29 + 9-477、16- 2.4巨解析：cos /P = ， sin2 /P = 1 一()2 =， sin /P =，2 PA - PC2 - 3 - 399819源 299豆9巨2 R =， R =4气；2 2气；248-96.三棱锥 P- ABC 中，平面PAC 平面 ABC，AC = 2，PA PC，AB BC，贝V三棱锥P - ABC外接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R = 1
