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1、1,几何向量,第三章,哈工大数学系代数与几何教研室,王 宝 玲,2,本章内容提要,几何向量的线性运算,空间中的平面与直线,数量积、向量积、混合积 几何向量的坐标，用坐标表示 几何向量的运算.,3,向量代数历史,数学历史,数学萌芽(公元前600年以前)初等数学(公元前600年到17世纪中叶)变量数学(17世纪中叶到19世纪20年代),数学发展的第三个时期,是变量数学时 期.它以笛卡尔解析几何的建立为起点.,4,笛卡尔(Descartes,1596年3月31日生于法国)解析几何是利用代数方法来研究几何图形性 质的一门学科.平面解析几何空间解析几何主要是笛卡尔和费尔马(Fermat)共同创立.通过在
2、空间中建立坐标系,将点用坐标表出,然后图形的几何性质可以用坐标之间的关系,特别是代数关系来表示.解析几何为微积分的出现创造了条件.,5,“向量代数”的应用:,作为研究（空间）解析几何的工具；研究数学中其它一些分支、力学及其 它学科的工具；,向量代数引言,3.1 向量及其线性运算,3.1 向量及其线性运算,6,定义,有大小又有方向的量称为(几何)向量，记为：,.,模:(长度、大小),几何表示:用有向线段,代数表示:用坐标(x,y,z),a=b 把起点平移在一起,则完全重合.,方向相同,大小相等.,向量的基本概念,自由向量:与起点无关的向量.,7,几种特殊的向量,单位向量:,负向量:a 的负向量与
3、a 大小相等方向相 反,记为-a.,零向量:,记为0.零向量的方向任意或不确定.,两向量共线:,同向或反向的向量.,两向量共面:平行与同一平面的向量.,任意两向量都共面.,8,一、向量的加法,分析一下物理中的两种有方向的量:力的合成,可以引入向量加法的概念.,加法：,b,a,a+b,a,b,a+b,2.三角形法则,1.平行四边形法则,首尾相连,a起点指向b终点,c=a+b,向量的线性运算,9,3.多边形法则：n个向量之和,只要把它们相继地首尾连接后，从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量,即为和向量.如,10,4.向量加法运算的性质,(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+
4、c=a+(b+c)(3)零向量:a+0=0+a=a(4)反向量:a+(-a)=(-a)+a=0 5.向量的减法:a-b=a+(-b),两起点置一处,b终点指向a终点,a-b,11,(1)1a=a,(-1)a=-a(2)k(la)=(kl)a(3)(k+l)a=ka+la(4)k(a+b)=ka+kb,2.数乘运算的性质:,1.数乘:,二.向量的数乘,12,3.单位向量:,a0,a0=,为与a同向的单位向量.,4.平行:（共线）,注（1）,（2）a b无意义.,（3）,13,如果k 0 a=(-l/k)b a,b共线;如果l 0 b=(-k/l)a a,b共线.,5.两个向量a,b共线存在不全为
5、零的数（平行）k,l 使ka+l b=0.,a=kb或b=ka,存在 k 使得,ka+l b=0.,14,6.三个向量a1,a2,a3共面是存在不全为零 的数k1,k2,k3使,证明思路必要性:分两种情况其中有平行向量其中两两不平行,a2,a3,a1,充分性:不仿设k1不为零,则有 a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a3,15,例1,解 因为平行四边形的对角线互相平分,所以,16,3.2 向量的数量积,向量积和混合积,前面讨论的向量及运算只是在几何作图，而这节的目的是用投影法得到向量的坐标，即将向量与数对应起来，把向量的代数运算转化为数量（坐标）的代数运算，实际上是对向量及运算进行定
6、量的描述.,向量在轴上的投影,17,注：零向量与任一向量的夹角可以在0 到 间任意 取值.向量与轴及轴与轴的夹角都是正向 间不超过 的夹角.,2.点在u轴上的投影：若A为空间中一点,u 为一轴，过 A点作垂直于 u 轴的平面，则 与轴 的交点 为A在 轴 上的投影.,1.向量的夹角：,18,投影轴,u1,u2,3.向量在u轴上投影:,19,u,投影轴,u1,u2,4.公式:,20,向量的线性运算可以用来解决一些几 何问题.要利用向量解决更复杂的几何问题,需要引入向量的其它运算,这其中最 重要的就是数量积和向量积.向量的加法是从物理中力的合力抽象 出来的.向量的数量积也可以从物理中 力作功的计算
7、公式抽象出来.,几何向量的数量积（数）,21,物理背景：一物体在常力 的作用下，沿直线运动产生的位移为 时，则力 所做的功是:,抽去物理意义，就是两个向量确定一 个数的运算.,22,一个向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影.,数量积又称为点积、内积.,a,b,1.定义（数量积):,23,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）结合律：,注（1）,中未必有0向量,也可.（2）无意义.（3）数量积不满足消去律即,2.性质:,（4）,a(b-c).,3.几何应用：,（1）求模长：,（2）求夹角：,（4）求投影：,a b ab=0,25,设(a+3b)(7a-5b),且(a-4b)(7a-2b)求.
8、,解,例1,26,用向量证明余弦定理.,例2,证,即,中,27,几何向量的向量积,1.定义:a,b 的向量积 ab 是一个向量,向量积也称为 叉积或外积.,2.几何意义：,都非零且不共线,则,以 为邻边的平行四边形的面积.,a,b,ab,模:,且a,b,ab成右手系,方向：,b a,28,（1）,（2）,（3）反交换律：,（4）结合律:,（5）分配律:,规定,3.性质:,29,(1)求平行四边形面积：,(2)求夹角：,h=|b|sina，b=,(3)求平行四边形的高：,(4)可判断向量平行:,4.几何应用：,30,证明,证 由数量积定义,由向量积定义知,两式相加有,例3,试证,例4,证,31,(-),Bye!,预 习 完,
