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1、第二节 函数求导法则,直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的.利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则,就能比较方便地求出初等函数的导数.,一、函数和、差、积、商的求导法则,二、反函数求导法则,三、复合函数的求导法则,四、初等函数的导数,一、函数和、差、积、商的求导法则,定理1 设函数 u=u(x)及 v=v(x)都在点 x 处可导,那么 它们的和、差、积、商在x 处也可导,u(x)v(x)在点 x 处也具有导数,且,（2）u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x),（1）u(x)v(x)=u(x)v(x)；,（3）,【v(x)0】,证（3）,取得增量 u,v,函数,也取
2、得增量,除法求导法则可简单地表示为,当 x 取增量 x 时,函数 u(x),v(x)分别,乘积求导法则可简单地表示为(uv)=uv+uv.,推论1 设 u(x)在点 x 处可导,C 为常数,则(Cu)=Cu.,推论2 设 u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点 x 处均可导,则(uvw)=uvw+uvw+uvw.,例1 y=x 4+sinx ln3,求 y.,解 y=(x 4)+(sinx)+(ln3),=4x 3+cosx.,=e x(sinx+cosx)+e x(cosx-sinx)=2e xcosx.,例2 y=e x(sinx+cosx),求 y.,解 y=(e x)(sinx+
3、cosx)+e x(sinx+cosx),例3,例4 y=2sinxcosxlnx,求 y.,例5 y=tanx,求 y.,即(tanx)=sec 2x.这就是正切函数的求导公式.,类似地可求余切函数的求导公式(cotx)=csc 2x.,例6 y=secx,求 y.,即(secx)=secxtanx.这就是正割函数的求导公式.,类似地可求余割函数的求导公式(cscx)=cscxcotx.,二、反函数的求导公式,定理2 设函数 在区间 I y 上单调、可导,且,则它的反函数 y=f(x)在对应区间 I x 上也单调、可导,且,简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数.,任取 x
4、 I x,给 x 以增量,由 y=f(x)的,因为 y=f(x)连续,故,，从而,单调性可知 y=f(x+x)-f(x)0,于是,证,又,例7.求函数,解:,则,类似可求得,则,的导数.,为函数,类似可求得,解：,的反函数。,例8.求函数,的导数。,解：,则,例9.求函数,的导数。,小结:,三、复合函数的求导法则,定理3 设函数 u=g(x)在点 x 处可导,函数 y=f(u)在点 u=g(x)处可导,则复合函数 y=f(g(x)在点 x 处可导,且其导数为,设 x 取增量 x,则 u 取得相应的增量 u,因为 u=g(x)可导,则必连续,所以 x 0 时,当 u=0时,可以证明上述公式仍然成
5、立.,从而 y 取得相应的增量 y,即 u=g(x+x)g(x),y=f(u+u)f(u).,u 0,因此,当 u 0时,有,证,中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数.设 y=f(u),u=g(v),v=h(x)都是可导函数,则复合函数 y=f(g(h(x)对 x 的导数为,公式表明,复合函数的导数等于复合函数对,例10 y=lnsinx,求 y.,解 设 y=lnu,u=sinx,则,例11,解 设,熟练之后,计算时可以不写出中间变量,而直接写出结果.,例12,例13,例14 y=lncos(e x),求 y.,例15,例16 设 x 0,证明幂函数的导数公式(x)=x-1.,证,解：
6、,例17 设,解：设,例18 设,其中函数,可导，求,四、初等函数的导数,1.基本导数公式,(1)(C)=0;(2)(x)=x-1;(3)(sinx)=cosx;(4)(cosx)=sinx;(5)(tanx)=sec2x;(6)(cotx)=-csc2x;(7)(secx)=secx tanx;(8)(cscx)=-cscxcotx;(9)(e x)=e x;(10)(a x)=a x lna;,2.函数的和、差、积、商的求导法则,设 u=u(x),v=v(x)均可导,则(1)(u v)=u v;(2)(uv)=uv+uv;(3)(Cu)=Cu;,3.复合函数的求导法则,设 y=f(u),u=g(x),且 f(u),g(x)均可导,则复合函数 y=f(g(x)的导数为,例19 求函数,解,的导数.,例20 求函数,解,的导数.,
