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1、向量法解立体几何立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它 主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题， 它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角 等。基本思路与方法一、基本工具1. 数量积：a-b = |a|b|cos92. 射影公式：向量a在b上的射影为ab3. 直线ABy + C = 0的法向量为(A,B)，方向向量为(-B,A)4. 平面的法向量(略)二、用向量法解空间位置关系1. 平行关系线线平行两线的方向向量平行线面平行线的方向向量与面的法向量垂直面面平行两面的法向量平行2. 垂直关系线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直线面垂
2、直线与面的法向量平行面面垂直两面的法向量垂直三、用向量法解空间距离1. 点点距离点 P (x , y , z )与 Q (x , y , z )的 111222距离为 |PQ| =J(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )22121212. 点线距离求点P (x , y )到直线/: Ax + By + C = 0的距离：方法：在直线上取一点q (x, y ),则向量PQ在法向量n = (A,B)上的射影1PQ H = A% + B* + CnA2 + B 2即为点P到l的距离.3. 点面距离求点P(x0,y0)到平面a的距离：方法：在平面a上去一点Q(x,y)，得向量
3、PQ，计算平面a的法向量n，计算pq在a上的射影，即为点p到面a的距离.四、用向量法解空间角1. 线线夹角(共面与异面)线线夹角o两线的方向向量的夹角或夹角的补角2. 线面夹角求线面夹角的步骤： 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； 再求其余角，即是线面的夹角.3. 面面夹角(二面角)若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.实例分析一、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角e,只要在两条异面直线 a, b上各任取一个向量AA和BB，则角 AT,旅=e或n-e，因为e是锐角，所以c
4、ose = 竺竺,不需要用法向量。|aa -阴1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为n =(X, y, 1)，则直线AB和平面a所成的角e的正弦值为sin0 = cos( - e ) = |cos AB, n 1 = 2ab nab n2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为n, n,则 n, n 或”- n, n 是所求 121212角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定 匚,匚 是所求，还是n- ,匚 是所求角。二、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n = (x,y,z), 在a、b上任取一点A、B,则异面直线a、
5、b的距d =AB cosZBAA= 1 化.汩I n I略证：如图，EF为a、b的公垂线段，a为过F与a平行的直 线，在a、b上任取一点A、B，过A作AA = EF，交a于A，则茶n，所以NBAA= （或其补角）.异面直线 a、b 的距离 d =AB cosZBAA= 1AB n|*I n I其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量缶b （或图中的AE, BF），及n的定义得n 1 anE a=0解方程组可得n。n 1 bn b = 02、求点到面的距离求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n = 3,y,1），在a 内任取一点B，则A点到平面a的距离为d=1AB n|，n的坐标由n与 I
6、n I平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所 述，若方程组无解，则法向量与XOY平面平行，此时可改设n = （1,y,0）， 下同）。3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n = 3,y,1），在 直线a上任取一点A，在平面a内任取一点B，则直线a到平面a的4、求两平行平面的距离设两个平行设平面a、6的公共法向量法为n = 3,1),在平面a、6内各任取一点A、B,则平面a到平面6的距离d = 1恍n 1I n I三、证明线面、面面的平行、垂直关系设平面外的直线a和平面a、6,两个面a、6的法向量为n, n , 则a/a = a n
7、a 1a = a/na / P = n / naP = n n212四、应用举例：例1：如右下图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB= 4, AD =3,FB=1.AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=(1)求二面角CDEC1的正切值;(2)求直线EC1与FD1所成的余弦值.解：(I)以A为原点，密AD,AA分别为x轴，y 建立空间直角坐标系，1则 D(0,3,0)、D (0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1 (4,3,2)1于是，DE = (3,-3,0),EC = (1,3,2), FD = (-4,2,2)设法向量n = (x, y,2)与
8、平面C1DE垂直，则有3 x - 3 y = 0r nx + 3 y + 2 z = 0 J轴，z轴的正向n DEn EC1J.向量AA = (0, 0, 2)与平面CDE垂直，与可所成的角6为二面角C - DE - 的平面角 n AA-1X 0 -1X 0 + 2 X 2n - (一1,一1,2),* cos6 = 1 a ,I n I x| AA I V1 +1 + 4 x - n 1 PE(x,y ,1) Gy-,2,-1) = 0(x, y ,1) (M。, -1) = 00, 1). DC n =0 即 DC 上 n 二平面 PED 平面 PAB1),设平面(2)解：由(1)知：平面
9、PAB的法向量为n =(伐，0, v3FAB的法向量为n 1= (x, y, -1),由(1)知：F (0, 0, 1), FB =2(2 , - , -), FE222-), 2由n1 1 FB n5 n1 1 FE(x, y,-1) (x, y,-1) ,2, - 2)=0,0,- 2)=0*11八x y +0222x + 二 022 n 1= (-土, 0, -1).二面角P-AB-F的平面角的余弦值 cos6= |cosln ni例3：在棱长为4的正方体ABCD-A BCD中，。是正方形ABCD的中11111111心，点P在棱CC上，且CC=4CP.11(I)求直线AP与平面BCCB所
10、成的角的大小(结果用反三角函数值表11示）;(II) 设。点在平面DAP上的射影是H,求证：DH1AP;ii(III) 求点P到平面ABD的距离.i解：(I)如图建立坐标系D-ACD ,i棱长为4A (4, 0, 0), B (4, 4, 0), P (0, 4, 1). AP = (-4, 4, 1),显然De =(0, 4, 0)为平面BCCB的一个法向量 i i.直线AP与平面BCCiBi所成的角e的正弦值sine= |cos|二一 =冬 42 + 42 + 1 p 4233 e为锐角，.直线AP与平面BCCB所成的角e为arcsin刊丑i i33(III)设平面ABD的法向量为n =
11、(x, y, i), i由n 而，n 耳得 n = (i, 0, i),y = 04 x + 4 = 0.点P到平面ABD的距离di3克 F福=（0, 4,。），而;=（-4,。，4）例4：在长、宽、高分别为2, 2, 3的长方体ABCD-AgCR中，O 是底面中心，求AO与BC的距离。 ii解：如图，建立坐标系 D-ACDi,则 O（i, i, 0）, Ai （2, 2, 3）,:.AO与BC的距离为iid = I AB n I1| n(0,2,0 ).(一3，3,1、k 2 23 _ 32211 - IFE、F 分别是 B1C1、C1D1n 1 bdn i ben 1x +1 = 02n例5:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 的中点，求A1到面BDFE的距离。解：如图，建立坐标系 D-ACD1，则 B (1, 1, 0), A1 (1, 0, 1),E ( 1 ,1,1) .: BD = (1,1,0)BE = (-4,0,1)22AB = (0,1,-1) 1设面BDFE的法向量为n = 3,y,1)，则3, y ,1) (-1,-1,0) = 03, y ,1) (-1,0,1) = 0：. n=(2,-2,1).: A 到面 BDFE 的距离为d=1 AB n 1 = |(0,1,-1)(2,-21)=上包=111 n 1(22 + (-2+13
