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1、利用面积法证明共线点【摘要】判定或证明三点或三点以上的共线点问题是初等几何 中著名发的问题。共线点的证明一般采用等距关系、角的相 等关系、角的互补关系，还有垂直公理或者某些特殊点的关 系，但巧用面积证明共线点，可以在解题过程中收到化难为 易，以简驭繁，变生为熟的效果。木文将举例说明.【关键词】面积法；共线点；直角坐标系；三角形1.什么是面积法 面积法在几何、代数中应用特别广泛，但是，本文主要是从三角形、四边形的面 积出发，采用几何图形中、角边和面积之间的关联，应用代数方法来证明几何中 的推理，他的基本做法是根据给出的几何量与有关图形的内在联系起来，通过面 积的有关性质、面积公式等方法把几何量之
2、间的关系转变成面积之间的代数关 系，最后达到求证的目的。本文将举例说明。1.1.三角形列式的面积公式已知平面直角坐标系中三点AG , y ) BG , y )Ch ，y)，则三点构成三角形的 112233面积公式为：工 1 y 1 1S = 一 % y 12 % 2 y 32 1推论：在平面直角坐标系中三点共线的充要条件为:例1已知平面上三点A (0,2) B (1,1) C (3, -1)，求证三点共线。思路1：利用两点之间的距离公式，分别计算每两点之间的距离，并求出任意两 个距离之和等于第三边，证法1:AC |= J(3 - 0)2 + (1 2)2 = 32AB | = ；(1 - 0)
3、2 + (1 - 2)2 = o)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A ,B 两点，点C在抛物线的准线上，且BC II X轴，证明直线AC经过原点O12-1，即有s =-，所以点B的坐标变为B (-424 s8 s 2i1又知点C在抛物线的准线X = -p上，且BCIX轴，于是得到点C的坐标C ( - P , - p )，下222 si证三角形AOC的面积为零。2 ps 2 ps 12s2 ps 2 2 ps_P _ P2Ti所以S BCC = 0故证得A、C、O三点共线，即证得直线AC经过原点0。例3已知过原点O的一条直线与函数的图像交于AB两点，分别过点A、B 作 轴的平行线与函数的图像
4、交于C、D两点。证明：设点A的坐标A （工,lg工）B（气，log父气）18 128 2又根据题设可知x 1 -x 21点 C 的坐标 C (X ,log x ) D (x ,log x )181282由题可知A、B、O三点共线，于是利用三角形行列式公式得:x log X 118 1x log x 1=028 2001由上式可知，L =x1log 8-x2x32由换底公式得，也 x1x log x 1_ log 2 x 2x2121xlog x于是有：xlog x 1=12 1 = 0222xlog x0SCOD01=0222从而证得点C、D和原点O在同一直线上，也就是说C、D、O三点共线。评
5、析：通过以上几个例题证明三点共线可知，用面积法证明三点共线不仅可以证 明几何图形的三点共线，同时也可以证明代数问题的共线点。而面积法它具富有启发性、趣味性、简洁性，同时也发散人们的数学逻辑思维，因此我们应该加 深对这种方法的理解和认识。=CN ：3CD例4如图所示，四边形ABCD的对角线AC、BD交于形内一点O,且AO=CO,DO=3BO,分别在 AC,CD 上取点 M,N 使 A-A C求证：B、M、N三点共线。分析：分析图可知，连接MN、MB、BN，然后利用两三角形的面积比分别等于它们 对应边的比，求证三角形相等。证明：分析连接MN、MB、BN。设S ACDs=S由题可知- 日ABCBOs
6、 ADCDO推出S ABC1=一S ,3又因为S BCD口 BADS AOD+ S AOB，又S AOD口 AOB2 ADC口 ABCCM由图可知了心S ABC3 - ；3AC然后又有S BCM口 ABC3 - 3 1 S33 -(3又因为SS ACD口 IMCNCM - CNCA - CD于是有S口 MCN3 -如3 v3 一-S3口 ACD3；3 - 3S BCM + S MCN23Ss又因为丁3B口 ABDCN _后CD 3所以s BCN3 BCD巨2 s3323那么 S BCN = S BCM + S MCN BMN = 0于是得S BMN故有B、M、N三点共线。例5如图所示，设四边形
7、ABCD外切于圆对角线AC和BD 的中点分别为M、N。试证M、N、O三点共线思路：由题设知S OAD+ S OBCOAB OCD1 s2 ABCD及s MNDBMDCs BDCi -s4ABCD-1 s2 BDCS OND2 IOBC * OCD BDCs OMC2 (S口OC+ S口OADS口ACD )s OMDs OAD OAD AMOs -1 s OND 2 ACD-s OMC将以上各式代入S MNOMND OND OMD故M、N、O共线得 S口 MNO=、SABCD 一 2 (S0 OAD + S口 OBC )=例6如图所示，X、Y、Z分别是0ABC中AB、 上的点。且理.竺.竺=1求
8、证：X、Y、Z三点共线。XB ZC YA分析：我们分析图形可知，证明X、Y、Z这三点共线主要是通过两 三角之间的面积比等于对应边之比。然后再通过用三角形面积之间的 和关系来求证就可以了。证明：分别连接YX、YZ、ZX。于是我们不妨假设AXBZXBZCCA所以有0 BXY0 BAYBXAYYAab0 BXY0 ABCABAC0 ABC0 BAY0 BAC分析图形得到ABAX+ XBAC =AY + YC所以BXAYabABAC0 ABC+1ab + 10 ABC同理可得 S0 BZYBZ CY sb 1 sBC CA 0 ABC b - 1 ab + 1 0 ABC又因为SSSBXBZb- 0
9、BAX. SSS0 BXZSS0 BAC ABBC 0 ABC(a + 1)(b1 ) 0 ABC0 BZY 0 BCY - SS 0 BCYS 0 BAC 0 ABC0 BXZ0 BAZ 0 BAC由图可知S口 w + S口边V1 ab +y a + 1 ab + 11)ab +侦S口 ABC1 ab+I a + 1 ab + 1从而有 S口 BXZ = S, BXZ + S口 如=S, BXY + S通过上式得S XYZ及证得X、Y、Z三点共线。评析：本例题主要是从三角形的性质出发如果三角形的面积为零，那么该三角形 的三个顶点在同一直线上，如果不是从三角形的性质出发我们同样也可以从别的 方
10、法入手，但是应用三角形的面积为零来求证显得更加的简洁，清晰，给人在探 索中寻早乐趣、且耐人寻味，俗话说：书中自有颜如玉，书中自有黄金屋。这 就是应用面积法解题达到的效果。我们可别小看面积法，他在几何中的应用是占 重要地位，是不可忽视的。2.三角形性质定理在几何中的应用2.1什么是等积图形 在几何学中，我们一般把几何图形中具有相等面积的图形称为等积图 形。下面我们主要是从例题来说明例7如图所示，若BC的三边a、b、c满足a + b = 2c ,E 点在直线AB上，且AB : EB = 1:2。求证：口 ABC的内心O重心G和点E这三点在同一直线上。分析：因为G是重心，只要连接0A、0C、GA、G
11、C、EC。就有S- AGC = 3同理 ABC有Sn AOC1S AEFS3SABC ABCS=1 (a+ b + c ) ABC21=3又根据内切圆与三角形面积公式为证明：连接GC、GA、0C、0A、EC，由题可设BC内切圆的半径为r，又因为点0为 ABC 的内心，所以 S =-(a + b + c ) r = - br = 3 S ABC 22AOC又因为点G是S1 ABC的重心，于是有oS3 ABCS11AEC =* CS3，即 ae 3 AB ABC1 从而有 S AGC = 3 S ABC又由图可知综上可得S AEC = S AGC=S AOCA线BD的中点。求证：E、0、F三点共线
12、。证明：分别连接AC、A。、C。，则由图可知S = S abcd AEC-S ACD所以由以上的证明可知都是同底AC、同侧、等积的三个三角形的三个顶点 故证得E、G、O三点共线例8如图所示四边形ABCD中AF、CE均将四边形面积两等分，O是 对角利用B分析：要证E、0、F三点共线，那么只要连接AC、A0、C0, 三角形与四边形之间的面积关系来求证即可。S AFC1 AFC 2 ABCD ACD 从而就有 AEc由题可知点0是对角线BD的中点因此有S = 1S + 1S - S =S - S口 AOC 2 口 BCD 2 口 ABD ACD 口 ABCD 口 ACD所以得 S口 AEC = S口
13、 AOC + S口 AFC可见E、0、三点都是同底AC、同侧、等积的三角形的三个顶点 即证得E、0、F三点共线。评析：通过观察上面的两个例题我们知道，它们都有一个共同的特点，那就是共 同应用了三角形的一个性质定理，同底、同侧、等积的所有三角形的第三个顶点 都在同一直线上。其实我们不难看出，运用面积法证明几何问题中的三点共线是 容易让人理解，而且思路比较清晰、简单，不是很复杂。结论：通过以上那些例子我们知道用面积法证明代数几何中点共线的问题，不仅 充分发挥我们的数学逻辑思维，还提高我们的思考能力和探索精神。让我们在解 题中得到不少的乐趣，同时，也学到不少的知识，面积法用在证明几何中的点共 线是很重要的，实际上我们不仅可以用面积法证明几何中的三点共线，还可以证 明几何问题中的多点共线，但是，这里我们主要研究的是三点共线，多点共线 留给读者以后再去研究。在几千年前，著名的勾股定理也是用面积法来证明的， 因此，我们一定要加深对这种方法的理解和运用。
