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1、17.4.2 反比例函数的 图象和性质,用数学视觉观察世界用数学思维思考世界,反比例函数的定义,一般地，形如的函数叫做反比例函数.其中k叫做比例系数.,反比例函数的变形形式：,描点法,例,确定自变量x的取值范围.x 0,列表:在自变量x的取值范围内取有代表性的值列表,描点：,连线.,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,反比例函数的图像是两条曲线，叫双曲线。,原因：,x0
2、,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,注意：连线应从左到右（原因：x的取值是连续的）连线要平滑两个象限内的点不能相连。（原因：x 0）每个象限内，两端应稍作延伸，（原因：x可无限小，无限大，还可无限接近于0）但不能与x轴、y轴相交（原因：x0,y0）,y,y,为什么有的双曲线在一、三象限，而有的双曲线在二、四象限呢？,K=60,K=-60,1,2,3,4,5,6,-1,
3、-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,1,6,3,2,-1,-6,1、k0,x、y同号,双曲线分布在第一、三象限,在第一、三象限内，曲线从左向右下降，y随x的增加而减少；,K=60,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4
4、,0,-6,-5,5,6,y,x,2、k0,x、y异号,双曲线分布在第二、四象限,在第二、四象限内，曲线从左向右上升，y随x的增加而增加；,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,为什么不能说：当k0时，y随x的增加而减少；当k0时，y随x的增加而增加？,K=60,K=-60,对于反比例函 数,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1
5、,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,双曲线 上任一点（x,y）关于原点的对称点（-x,-y）在另一分支上.即:中心对称性-两个分支关于原点成中心对称,P(6,1),P(-1,6),轴对称性-对称轴是各象限的角平分线所在直线y=x或y=-x,原因:（x,y）在图象上,（-x,-y）也在图象上.,P(1,6),P(-6,1),y=x,y=-x,y=x,y=-x,位置,增减性,位置,增减性,y=kx(k0),直线,双曲线,y随x的增大而增大,一三象限,y
6、随x的增大而减小,二四象限,y随x的增大而减小,y随x的增大而增大,填表分析正比例函数和反比例函数的区别,一三象限,二四象限,反比例函数 性质的应用,D,二,四,减小,m 2,三,-1,增大,已知点P（2，-3）满足反比例函数y=，则k=.,求反比例函数y=,已知图象上的一个点（x、y的一对值）,的解析式.,-6,A.一、二象限 B.三、四象限 C.一、三象限 D.二、四象限,2015 若反比例函数y=,的图象经过点A(2,-4),则反比例函数的图象在(),1.已知k0,则函数 y1=kx,y2=在同一坐标系中的图象大致是(),(A),(B),D,2.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，
7、y3）在反比例函数 的图象上，则（）,A、y1y2y3 B、y2y1y3C、y3y1y2 D、y3y2y1,y1,-1,-2,0,2,y2,y3,B,在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与y=,（k0）的图象大致是（）,B,C,D,A,D,已知反比例函数y=,的图象上有两点A（x1,y1）、B（x2,y2），当x1 x20时,有,，则m的取值范围为(),A.m0 C.m1 D.m1,k的正负性不确定的反比例函数问题分k0,k0两种情况讨论.,C,乐山2014如图，反比例函数,的图象与一次函数,的图象交于,，,求反比例函数与一次函数的解析式；,两点,已知交点。把交点分别代入两个解析式求解,201
8、0.4（2008恩施州）如图,一次函数=x-1与反比例函数y2=的图象交于点A（2,1）,B（-1,-2）,则使y1y2的x的取值范围是(),x2 B.x2或-12或x-1,B,-2,-1,1,2,y1,y2,y2,y1,x-1时,-1x0时,0 x2时,x2时,y1y2,y1=y2,y1y2,y1y2,y1y2,x=-1时,x2时,y1y2,有交点,则以交点和原点为分界点,分段观察图象位置的高低.,乐山2007如图，反比例函数,的图象与一次函数,的图象交于,，,（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当,取何值时，反比例函数的,两点,值大于一次函数的值,乐山2015.4如图
9、，点A是关于x的反比例函数y=,的图像上的一点，过点A作x轴的垂线AB。垂足为B，已知ABO的面积为6.（1）求该函数的解析式；（2）若点（-2，a）在此函数图像上，求a的值。,利用k的几何意义,没有边与坐标轴平行（或在坐标轴上）:以坐标轴或平行于坐标轴的直线为割补线,用割补法.,2011.6如图,反比例函数y=,的图象交于点A（m，2），点B（-2，n），求一次函数解析式求AOB的面积,的图象与一次函数y=kx+b,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4
10、,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,y,6,A,B,C,O,SOABC=,O,D,E,F,SODEF=,6,G,H,I,SOGHI=,6,理由:设H(x,y),则xy=-6,HG=,HI=,(x,y),=双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积.即:双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积=,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,y,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,
11、5,6,x,y,3,A,B,C,O,SOAB=,O,D,E,F,G,H,I,(x,y),=双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积即:双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积=,SOBC=,SDEF=,SODF=,3,SOGH=,SOHI=,3,反比例函数的图象和性质,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,1,2,3,4,5,6,-1,-3,-2,-4,-5,-6,1,2,3,4,-1,-2,-3,-4,0,-6,-5,5,6,x,1.k的正
12、负决定什么?,3.反比例函数 中，的几何意义,1.k的正负,x、y的符号关系,双曲线所在象限,看出每条曲线的升降性,每个象限函数的增减性。,反比例函数 的图象和性质,双曲线 上任一点（x,y）关于原点的对称点（-x,-y）在另一分支上.即:中心对称性-两个分支关于原点成中心对称,轴对称性-对称轴是各象限的角平分线所在直线y=x或y=-x,3.反比例函数 中，k的几何意义,=双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积.即:双曲线上任一点作坐标轴的垂线段，所得矩形的面积=,=双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐标原点，所得直角三角形的面积即:双曲线上任一点作x轴（或y轴）的垂线段，连坐
13、标原点，所得直角三角形的面积=,位置,增减性,位置,增减性,y=kx(k0),直线,双曲线,y随x的增大而增大,一三象限,y随x的增大而减小,二四象限,y随x的增大而减小,y随x的增大而增大,填表分析正比例函数和反比例函数的区别,一三象限,二四象限,2010.6如图,在反比例函数y=,（x0）的图象上,有点P1、P2、P3、P4，,它们的横坐标依次为1,2,3,4,分别过这些点x轴与y轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，,则S1+S2+S3=,1.5,2009乐山已知正比例函数,反比例函数,由,构造一个新函数,其图象如图所示,时，该函数在,时取得最大值-2；,的
14、值不可能为1；,随自变量,的增大而增大,（请写出所有正确的命题的序号）,当,在每个象限内，函数值,其中正确的命题是,（因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数”）给出下列几个命题：,该函数的图象是中心对称图形；,比较下列函数值的大小:,y1=2x+2,y2=2x,y3=2x-3,比较函数值的大小的方法方法1.作差法.,x,y,o,y1=-2x-3,y3=-2x+1,比较下列函数值的大小:,y1=-2x-3,y2=-2x,y3=-2x+1,y3,y1,y2,3.已知y,求x,2011.6如图,点A在双曲线y=,上,过A作ACx轴,垂足,D、,为C,且AC=2,OA的垂直平分线交OC于B,则ABC的周
15、长为（）A、7 B、5 C、,A,在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象,并结合图象回答下列问题:y=-x+2 y=-2x+1,P(?,?),.,图象交点坐标的性质和求法,方法1.估计法方法2.计算法.交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解.根据:交点坐标的性质:交点坐标满足两个函数的解析式注意:x轴的解析式为y=0,y轴的解析式为x=0,y=0,x=0,已知：A（，），B（，）,求：A0B的面积,坐标平面内三角形的面积计算,先用坐标的几何意义表示各线段的长.再选择方法：,1.有边在坐标轴上.以在坐标轴上的边为底,用三角形的面积公式.,-2,3,4,A,B,已知：A（4，），B（，-4）,求
16、：A0B的面积,2.有边平行于坐标轴.以平行于坐标轴的边为底,用三角形的面积公式.,2,-4,4,A,B,已知：A（4，），B（-2，-4）,求：A0B的面积,3.没有边与坐标轴平行（或在坐标轴上）:以坐标轴或过顶点平行于坐标轴的直线为割补线,用分割法或补全法.,2,-4,4,A,B,-2,2014成都 如图,在直角坐标系内,函数,（x0,m是不为0的常数）的图象经过A（1,4）,B（a,b）其中a1,过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连结AD、DC、CB.若ABC的面积为4,求点B的坐标.,有边平行于坐标轴.以平行于坐标轴的边或在坐标轴上的为底,用三角形的面积公式.,B
17、点的坐标为（3,）,求：梯形ABCD的面积,坐标平面内四边形的面积计算,1.有两边平行于同一坐标轴或在坐标轴上.以平行于坐标轴的边或在坐标轴上的边为底,用梯形的面积公式.,（2011湖北黄石）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），,先用坐标的几何意义表示各线段的长.再选择方法：,2,5,A,B,-1,C,2,D,已知：A(0,2)，B(2,0),C,求：四边形ABCD的面积,2.没有两边与同一坐标轴平行（或在坐标轴上）:以坐标轴或过顶点平行于坐标轴的直线为割补线,用分割法若补全法.,D,2,A,B,2,C,D,（2014黔东南州）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=,的图象相交于A、B两点，BCx轴于点C，则ABC,的面积为（）,A,图象交点问题的解法,1.已知解析式。先求交点。,2.双曲线与正比例函数的交点问题:可利用它的性质。对称性和k的几何意义。,2.已知x,求y,2010.6（2010攀枝花）如图,等腰直角三角形ABC位于第一象限,AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上,其中A点的横坐标为1,且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴,若反比例函数y=,A、1k2 B、1k3 C、1k4 D、1k4,（k0）的图象与ABC有交点,则k的取,值范围是（）,C,
