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1、复习：曲顶柱体的体积,求曲顶柱体体积步骤如下：,分割：将矩形 任意分为 n 块可求面积的小块,其面积仍记为。相应地将曲顶柱体分割成 n 个小曲顶柱体，分别记为,近似代替：在每一小块上任意取一点 则小曲顶柱体的体积 可用直柱体的体积近似代替，即,求和：把 n 个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值,取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积分的值：,取极限：记 在和式中令,由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。,先复习定积分应用中的一个结果：设
2、空间立体位于平面 与平面 之间，用与 轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为，则此立体的体积为,化二重积分为二次积分,作与 轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为,立体位于平面与平面 之间，,则曲顶柱体体积为,而 就是平面 上，由曲线 与直线 所围成的曲边梯形的面积，所以,从而,因此,类似地，也可以用与 轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得,从上面的分析，可以得到下列结果：,定理1 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,设 在矩形 上连续，则,我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：,定理2 设 在矩形 上可积，含参变量积分 存在，则,类似地可以给出先对 后对 积分的结果：,前
3、面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。,第一种情形：积分区域 D 由两条曲线及两条直线围成，即,这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 y 轴的直线段。,根据积分区域的特点，分三种情况讨论。,作包含此积分区域的矩形,令,于是,这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。,这时二重积分可化为先对 后对 的二次积分。,这种区域的特点是：与 轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于 x 轴的直线段。,第三种情形：一般情形，这时可用平行于 轴与平行于 轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。,X型区域
4、的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,解,积分区域如图,解,积分区域如图,解,原式,解,解,解,解,曲面围成的立体如图.,解 设这两个直交圆柱面的方程为：,由图形的对称性,二、用极坐标计算二重积分,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,区域特征如图,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,解,解,解,解,解,三、二重积分的一般变量替换,例14,解,例15,解,例16,解:,小结,基本要求:变换后定限简便，求积容易,
