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1、第一节 多元函数的极限及连续,一、多元函数概念,二、多元函数的极限,三、多元函数的连续性,四、小结 习题课,（一）区域,一、多元函数的概念,1.邻域,设 是 平面上的一个点，是某一正数，与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记为 或（）。,2.内点,注意:,例如，,即为开集,3.开集:,4.边界点:,5.连通,记为,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,6.区域:,7.有界集、无界集,有界闭区域；,无界开区域,例如，,8.n维空间,n维空间的记号为,说明：,n维空间中两点间距离公式,设 为取定的一个自然数，我们称 元数组 的全体为 维空间，而每个 元数组 称为 维空间中的一个点
2、，数 称为该点的第 个坐标,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,n维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义,邻域：,设两点为,(二)二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,设 是平面上的一个点集，如果对于每个点，变量 按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称 是变量 的二元函数，记为（或记为）.,注:与单元函数类似,对公式表示的多元,1.定义,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,函数,使此算式有意义的自变量所确定的点,集为这个函数的定义域.,2.二元函数 的图形,设函数的定义域为，对于任意取定的，对应的函数值为，这样，以 为横坐标、为纵坐标、为
3、竖坐标在空间就确定一点，当 取遍 上一切点时，得一个空间点集，这个点集称为二元函数 的图形.,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,二、多元函数的极限,任意给定的正数，总存在正数,，使得,对于,适合不等式,的一切点，都有,成立，,则称A为函数 当,时的极限，记为,(1)二重极限,邻域内有定义(在P0处可以没定义)，如果对,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,证明极限存在不能用沿特殊方式证明；但证明极限不存在时，只需找自变量沿两种不同方式趋近时，函数的极限值不同即可.,例
4、2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,证,例4 证明 不存在,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的常用方法：,单元函数求极限的方法、技巧在求多元函数极限时也可以用。,例5 求,解,利用点函数的形式有,定义2 设 元函数 的定义域为点集 是其内点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称A为 元函数 当 时的极限，记为,(2)二元函数的累次极限,解释:固定,考察,若此极限,存在,记,再考察极限,若此极限存在并且等于A,则,例1 讨论函数 在原点的二重极限和累次极限.,解 累次极限,对任意 有,故,同理得,二重极
5、限,沿,沿,二重极限不存在,例2 讨论函数,的二重极限和累次极限.,解 先考察累次极限,右端极限不存在,因此累次极限不存在.,同理另一个累次极限也不存在.,二重极限,存在等于0.,三、多元函数的连续性,（1）多元函数连续的定义,(3),续，那么就称函数 在区域 上连续。,设 是函数 的定义域的内点，如果 在 点处不连续，则称 是函数 的间断点.,定义 5：,例6 讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例7 讨论函数,在(0,0)点的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,多元函数的极限、连续与单元函数具有相同的运算
6、性质。,例如：连续函数的加、减、乘、除（作除法时，分母不为零）及复合构成的函数仍是连续函数。,（2）多元初等函数,定义5 由多元多项式及基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的、可用一个式子表示的多元函数称为多元初等函数。,结论：,多元初等函数在定义区域上连续。,例如，,在xoy平面,上连续。,（3）闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,1.最大值和最小值定理,2.介值定理,例8,在其定义区域内，所以,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,思考题,若点 沿着无数多条平面曲线趋向于点 时，函数 都趋向于A，能否断 定？,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,练 习 题,练习题答案,
