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1、1,第六章 多元函数积分学及其应用,多元数量值函数积分的概念与性质二重积分的计算三重积分的计算第一型线积分与面积分第二型线积分与面积分各种积分的联系、三大定理,C.F.Gauss(1777-1855),2,多元函数积分学及其应用,Calculus of Functionsof Several Variables1.概念和性质,3,本章内容,本章共涉及多元函数的六类积分，它们是,定积分概念在 空间的自然推广。,本章内容分为三部分,1.多元数量值函数的积分及其应用(一类),二重积分,三重积分,一型线积分,一型面积分,4,2.多元向量值函数的积分及其应用(二类),二型线积分,二型面积分,3.Stok
2、es公式和场论初步,三大公式(Green,Gauss,Stokes),多元微积分学基本定理,场论初步、Stokes公式的向量形式,及物理意义,5,1.多元数量值函数积分的概念与性质,一、概念,定义：(多元数量值函数积分),设有某几何形体，,其有界且可度量。函数,在 上有定义。,将 任意分为 个子块,6,若不论 如何划分，也不论在每个子块,每个子块的度量用,表示(非负，一般为正)；,在每个子块上任取点,作和式：,上点 如何选取,当所有子块,7,度量的最大值,都存在且为同一定数，,则称 在 上可积，,并称此极限值为多元数量值函数,在 上的积分，并统一记为：,8,根据 与 的不同，有以下几类积分：,
3、其中：,定积分(Definite Integrals),9,三重积分(Triple Integrals),二重积分(Double Integrals),10,第一型曲线积分(Curve Integrals),11,第一型曲面积分(Surface Integrals),关于多元向量值函数所涉及的两种积分：第二型曲线积分与第二型曲面积分将在后面 讲,所以多元函数积分一共 6 种.,12,比较这几类积分：,1.共同点,解决的问题具共性,都是求某一整体量,解决问题的方法一样：,(Riemann 积分思想-to integrate)，,求某一形体的质量：,取极限,近似,求和,细分,如,(达精确值),13,其数学结构一样,都是求某种特殊结构 的和式的极限:,2.不同点在,积分区域不一样：区间,平面区域,空间体,曲线,曲面.,被积函数不一样：一元,多元；,计算的方法有发展。,14,3.多元数量值函数的可积性问题,与定积分一样，在 上有界是可积,的必要条件；而 可度量，,连续，就一定可积(一个充分条件)。,二、性质,1.线性性质,15,2.关于积分区域的可加性,3.积分不等关系,若,16,若在 上，,当在,(区间长,平面面积,体积,曲线长,曲面面积.),17,积分中值定理：,所有第一类积分，积分平均值为,18,5月19日作业,看书:P.121P.127;思考:P.127.习题6.1(A),
