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1、一、不定积分的基本公式,不定积分,二、不定积分的基本运算法则,三、直接积分法,四、经典例题,不定积分基本公式表,当 x 0 时，,所以,当 x 0 时，,所以,综合以上两种情况，当 x 0 时，得,例 1求不定积分,解,例 2求不定积分.,解先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基本积分公式，,(1),(2),得,例 3求不定积分,解,法则 1两个函数的代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，,即,二、不定积分的基本运算法则,法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，,即,根据不定积分定义，只须验证上式右端的导数等于左端的被积函数.,证,法则 2被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号
2、前面，,(k 为不等于零的常数),证类似性质 1 的证法，,有,即,例 4求不定积分,但是由于 任意常数之和还是任意常数，,其中每一项虽然都应有一个积分常数，,解,所以只需在最后写出一个积分常数 C 即可.,求积分时，如果直接用求积分的两个运算法则和基本公式就能求出结果，,三、直接积分法,或对被积函数进行简单的恒等变形(包括代数和三角的恒等变形)，,在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能求出结果，,这种求不定积分的方法成为直接积分法,例 5求,解,例 6求,解,例 求,解,例 9求,解,例 10求,解,例 11 已知物体以速度 v=2t2+1(m/s)作直线运动，当 t=1 s 时,物体经
3、过的路程为3m,求物体的运动规律.,解设所求的运动规律 s=s(t)，,按题意有,积分得,将条件 s|t=1=3，,代入上式中，得,于是物体的运动规律为,常用微分公式,例 1求,解,例2.求,解:,例3.求,解:,例4.求,f(x)=,x2+1,x0.,解:,而要使F(x)成为f(x)在R上的原函数，必须F(x)连续，从而C10，C21，因此满足条件的函数为,故,例5,例6,例7,例8,解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以,已知当 x=0 时，y=1000，,因此有 C=1000，,作业：P137：5(2)（5)(10)(15).,例2.,解：观察,中间变量u=x2+1,但 u=x2+
4、1的导数为,u=2x,在被积函数中添加2个因子,u,因此,例3.,解:,u,u,du,例4.,解：能想出原函数的形式吗？,记得这个公式吗？如何用这个公式？,例5.求,解：,例6,解：,例7 求,解,例8 求,解,例9 求,解,例11 求,解,正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开放在微分号,解,例12 求,例13 求,例14 求,解,例15 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例16 求,解,利用积化和差公式，得,解,类似地可推出,例17 求,解,+,x,x,dx,1,例18,解,解,解,解,例2 求,解,例3 求,解,令,注,三角代换的目的是化掉根式.,解,例
5、1 求,解,令,考虑到被积函数中的根号是困难所在，故,解,解,解,解,配方,3.倒数代换,令,解,例2 求,解,令,分母的次幂太高,解,解,例1 求积分,解,由万能公式,例3 求积分,解（一）,解（二）,变形万能公式,令,解（三）,不用万能公式.,结论,万能代换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.,例4 求积分,解,解,解,解,5 双曲代换,积分中为了化掉根式还可用双曲代换.,令,例3 求积分,解,例4 求积分,解,若被积函数是幂函数和对数函数的乘积，就考虑设对数函数为.,例5 求积分,解,令,若被积函数是幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设反三角函数为u.
6、,例6 求积分,解,例7 求积分,解,复原法(回归法,循环法)!,例7,解,消去(超越函数)法!,解,解,例10 求积分,解,用分部积分法，当,积分过程常要兼用换元法与分部积分法。,例11 求积分,解,解,解,两边同时对 求导,得,连用分部积分法,解：,同理可求不定积分,例14.,解,解,解,则,记,把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法,例1,通分比较分子：,代入特殊值来确定系数,取,取,取,并将 值代入,例2,例4 求积分,解,例6 求积分,解,令,例10 求积分,解 令,例11 求积分,解 令,说明,无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.,例1,例2,三、其他典型例题,解：,解：,（分子是分母的导数）凑导数法!,例3,解：方法1,例4,例5,被积函数为余弦的奇函数,采用正弦换元,方法2,本例也可以直接采用凑微分的方法,例7,例8,例9,解,例10,解,例11,解,凑导数法!,例12,解,(倒代换,尽管可采用割换),例14,解,例15,解,凑整法,例16,解,例18,解,例19,解,解,凑导数法,双曲函数,解,解,解,
