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1、第六章 定积分及其应用,在上一章我们研究了求导问题的逆问题，即不定积分问题本章我们将研究微小量的无限累加问题，即定积分问题 微积分基本定理是本章的重要内容，该定理建立了定积分与原函数之间的关系，使得第五章的知识在第六章当中得到进一步的运用,6.1 定积分,6.2 微积分基本定理,6.3 定积分的换元积分法与 分部积分法,6.4 反常积分,第六章,6.5 定积分在几何上的应用,6.6 定积分在经济上的应用,小结,定积分的概念,定积分的性质,定积分问题举例,6.1 定积分,第六章 定积分及其应用,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,以及两直线,所围成,求其面积 A.,矩
2、形面积,梯形面积,1)大化小.,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;,2)常代变.,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,解决步骤,3)近似和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,解决步骤,2.收益问题,(1)分割:,(2)近似代替:,(3)求和:,(4)取极限:,设某商品的价格P是销售量x的函数P=P(x)，设x为连续变量求当销售量从a变动到b时的收益R为多少？,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘
3、积和式的极限,一、定积分问题举例,二、定积分的概念,定积分的定义,在小区间xi1,xi上任取一点xi(i1,2,n),作和,maxDx1,Dx2,Dxn;,记Dxi=xi-xi1(i1,2,n),ax0 x1x2 xn1xnb;,在区间a,b内插入分点:,设函数f(x)在区间a,b上有界.,即,定积分各部分的名称 积分符号,f(x)被积函数,f(x)dx 被积表达式,x 积分变量,a 积分下限,b 积分上限,a,b积分区间，,定积分的定义,积分和.,定积分的定义,函数的可积性 如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在,则称f(x)在区间a,b上可积.,定理1(充分条件)如果函数f(x)在区间
4、a,b上连续,则函数f(x)在区间a,b上可积.定理2(充分条件)如果函数f(x)在区间a,b上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间a,b上可积.,定积分的定义,定积分的几何意义,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.,当f(x)0时,f(x)在a,b上的定积分表示曲边梯形面积的负值.,解 定积分的值就是涂阴影的圆的1/4面积由圆形面积公式有,三、定积分的性质,两点规定,性质1,性质1,性质2,性质3,性质4,的值,解 由定积分的性质，有,推论1,如果在区间a b上 f(x)g(x)则,如果在区间a b上 f(x)0 则,性质5,|f(x)|f(x)|f(x)|,推论2,性质6,设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则,解,利用保序性比较下列定积分的大小：,解,估计积分 的值.,即,如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立,这是因为,由性质6,性质7(定积分中值定理),积分中值公式,由介值定理,至少存在一点xa,b,使,两端乘以ba即得积分中值公式.,求极限：,原式,总 练 习 答 案,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,小 结,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,作 业 P1843、4,谢谢！,
