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1、主讲教师：姜萍,第四章连续系统模型的离散化处理方法,第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高,但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算方法。,本章介绍对连续系统模型进行离散化处理，得到一个“等效”的结构比较简单的离散化模型，便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速计算方法”。,连续系统模型的离散化方法主要有替换法和离散相似法。,.1 替换法,主要内容,简单替换法,双线性替换法,4.2 离散相似法,Z域离散相似法,时域离散相似法,4.根匹配法,.1 替换法,替换法的基本思想：对给定的连续系统模型G(S)，设法找
2、到域到域的某种映射关系，将域的变量映射到平面上，由此得到与连续系统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数(Z)。然后，再由(Z)通过反变换得到系统的时域离散模型差分方程，从而快速求解。,传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述形式，连续系统为域的传递函数G(S)，离散系统为域的脉冲传递函数(Z)。,G(S)(Z)差分方程,根据变换理论，域到域的最基本的映射关系是：,或,其中是采样周期,若直接将这个映射关系代入(S)得到G(Z)将会很复杂，不便于计算，实际应用中是利用变换理论的基本映射关系进行简化处理，得到近似的离散模型。,4.1.1 简单替换法,用此式代入(S)就得到G(Z)，这就是简单替换法，
3、又称Euler法。,由幂级数展开式：,取近似式：,或：,进行Z反变换得差分方程,例：二阶连续系统,分别用简单替换法和欧拉法建立差分方程。,解：,代入G(s),1、简单替换法,为何简单替换法又称Euler法？,是多步法还是单步法,利用前向欧拉法的矩阵形式,先将传递函数化成一阶微分方程组,2、欧拉法,为了与简单替换法比较，再化为仅有 y 的差分方程形式，消去,4.1.2 双线性替换法,用此式代入(S)就得到G(Z)，这就是双线性替换法，又称Tustin变换。相当于数值积分法中的梯形法，有较好的性能。,取近似式：,或：,由于高阶线性系统总可以分解成几个积分环节的某些线性组合，以下用一个积分环节来说明
4、双线性替换法与梯形法是等效的。,可见，双线性替换法与数值积分法中的梯形法等效。,用梯形公式：,用双线性替换：,进行Z反变换：,例：二阶连续系统,用双线性替换法建立差分方程。,解：,代入G(s),双线性替换：,进行Z反变换得差分方程,4.2 离散相似法,离散相似法将连续系统模型处理成与之等效的离散模型的一种方法。设计一个离散系统模型，使其中的信息流与给定的连续系统中的信息流相似。或者是根据给定的连续系统数学模型，通过具体的离散化方法，构造一个离散化模型，使之与连续系统等效。,4.2.1 离散相似法的概念,离散化模型的精度，取决于采样周期的大小以及保持器的精度,离散化过程中，输入输出加以为采样周期
5、的采样开关。,仅有采样开关，y*不能完全体现 y(t)的变化规律，还要在输入采样开关后加保持器以使 u(t)不失真。,常用保持器有：零阶保持器、一阶保持器、三角保持器。,常用保持器的传递函数：,零阶保持器,一阶保持器,三角保持器,是理想保持器，物理上不可实现。,实际中用滞后一拍的三角保持器,由于连续系统常用两种形式描述：,频域：传递函数,时域：状态空间表达式,相应离散相似法也有两种形式：,传递函数离散相似处理得离散传递函数（Z域离散化法）,状态空间表达式离散相似处理得离散状态空间表达式（时域离散化法）,4.2.2 Z域离散相似法,连续系统模型,一、基本方法,离散化模型,u(t)经采样后是离散信
6、号，加保持器Gh(S)后，将离散信号 转化成连续信号，并作用于连续系统G(S)上输出。,离散模型,例：连续系统为一惯性环节,以零阶保持器采用离散相似法求出差分方程,解：,零阶保持器,Z变换表 F(s)F(z),差分方程：,采用域离散相似法对连续系统进行离散化处理的步骤：,、画出连续系统的结构图；,、适当的位置加入采样开关，选择合适的保持器;,、将保持器传递函数与连续系统传递函数串联，通过变换求得系统的脉冲传递函数；,、通过反变换求得差分方程；,、根据差分方程编制仿真程序。,、积分环节,二、典型环节离散相似模型,）选用零阶保持器,离散化传递函数,反变换得差分方程：,同数值积分法的前向Eular相
7、当,积分环节的微分方程：,）选用一阶保持器,离散化传递函数,Z变换表 F(s)F(z),反变换得差分方程：,对积分环节采用一阶保持器进行离散相似化后所得模型，与数值积分中的显式二阶Adams法一致。,可见采用不同的保持器，得到的离散模型是不同的，精度也不同，实际应用中常采用零阶保持器。,.一阶环节（惯性环节、超前滞后环节）,）选用零阶保持器,离散化传递函数,Z变换表 F(s)F(z),反变换得差分方程：,若取,则得,4.2.时域离散相似法,连续系统模型,一、状态空间表达式的离散相似法,状态方程的解,采用零阶保持器对状态空间表达式进行离散化处理,对于连续解,变量替换,由于采用零阶保持器,保持不变
8、,是常数阵,令,则离散化状态方程：,这是用零阶保持器得到的离散状态方程。,例：,则用零阶保持器的离散状态方程：,请用零阶保持器得到离散状态方程。,解：,连续状态方程：,最终得：,其中T为采样周期，选定合适的采样周期，并确定系统参数a，则可进行程序设计。,离散化状态方程的求取关键在 的积分问题，若输入函数复杂，积分很难计算。,保持器是将离散信号复原为连续信号，实际是采样时刻之间输入函数的差值问题，通过保持器将复杂的输入函数转换成简单函数，便于积分计算。,选择的保持器不同，得到的复原连续信号 也不同。,零阶保持器信号复原特性,零阶保持器,保持不变,一阶保持器信号复原特性,一阶保持器,最终用一阶保持
9、器得到的离散状态方程：,三角保持器信号复原特性,三角保持器,计算中要用到,可见，这就是实际不能实现的原因,滞后一拍三角保持器信号复原特性,滞后一拍三角保持器,代入下式计算,同理得：,4.根匹配法,由控制理论，连续系统的动态特性是传递函数的零点、极点分布情况和增益决定。,4.1 根匹配法的基本思想,根匹配法就是构造一个相应于连续传递函数的离散传递函数，使两者零点、极点相匹配，并且具有相同的动态响应值。,设线性连续系统传递函数为,构造离散系统传递函数,其中G(S),G(Z)中的,满足一定的匹配关系,是为实现G(Z)与G(S)幅值与相位的最佳匹配而附加上去的附加零点。,是根据终值相同而确定的增益。,
10、、G(Z)与G(S)具有相同数目的极点、零点；,4.3.2 连续传递函数与离散传递函数的动态匹配,一、实现动态匹配需考虑的问题,、G(Z)具有与G(S)的极点、零点相匹配的极点、零点；,、G(Z)具有与G(S)终值相匹配的终值；,、调节相位，使G(Z)和G(S)的动态响应达到最佳匹配。,、确定连续系统的传递函数G(S)；,二、根匹配法实现系统离散化的步骤,、将G(S)写成零极点增益形式,、将平面上的零极点映射到平面上；,、利用求得的平面的零极点写出,以确定零极点,暂不考虑附加零点，Kz待定,、确定连续系统在单位阶跃作用下的终值（若响应为，则考虑其它形式的典型输入函数；,、求出典型信号作用下离散系统的终值；,、根据终值不变的原则确定Kz；,、确定G(Z)的附加零点,、对得到的G(Z)求反变换，得差分方程，由此设计仿真程序。,使G(Z)的分子分母阶次相匹配，并尽量保证G(Z)和G()。附加零点后，需要重新确定Kz;,
