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1、,一、第一型曲面积分的概念与性质,二、第一型曲面积分的计算法,22.1第一型曲面积分,第二十二章,一、第一型曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形构件具有连续面密度,与前面所有的积分类型的思想一致,采用,可得,求质,“分割,近似,求(近似)和,(取)极限”,的方法,量 M.,其中,表示 n 小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,另外按微元法,所以,定义:,设 为光滑曲面,“乘积,都存在,的曲面积分,其中 f(x,y,z)叫做被积,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,f(x,y,z)是定义在 上的一,个有界函数,或第一型曲面积分.,若对 做任意分割和局部区域任
2、意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积,函数,叫做积分曲面.,的和式,极限”,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似,（k 为常数),(由 组成),(S为曲面 的面积),第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似,(5)若fg，则,(中值定理,其中),(f 在上连续).,性质8.(对称性的应用),若f(x,y,z)为关于x(或y,z)的连续奇函数,即,=0,例：,一卦限中的部分,则有().,且关于面yoz(或xoz面,xoy面)对称,则:,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,二、第一型曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:(略),(在xoy面投影),实际是
3、换元法:三换,说明:,1)如果曲面方程为,2)如果曲面方程为,例1.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若 是球面,被平行平面 z=h 截,出的上下两部分,则,例2.计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,(其他部分为零),例4.求半径为R 的均匀半球壳 的质心坐标.,解:设 的方程为,利用对称性可知质心的坐标,而,S在xoy面上的 投影,=,=,所以,则质心坐标为(0,0,),例5.计算,其中 是球面,利用对称性可知,解:显然球心为,半径为,利用质心公式,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用对称性简化计算的技巧.,作业,P282 1(1)(3);3,思考与练习,P158 题1；3；4(1);7,解答提示:,P158 题1.,P158 题3.,设,则,P158 题4(1).,在 xoy 面上的投影域为,这是 的面积!,P159 题7.,如图所示,有,
