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1、1.1.3 导数的几何意义,1.1 变化率与导数,知识回顾,1.函数f(x)在xx0处的导数的含义是什么？,2.求函数f(x)在xx0处的导数有哪几个基本步骤？,第一步，求函数值增量：yf(xx)f(x0)；,第二步，求平均变化率：；,第三步，取极限，求导数：.,2.求函数f(x)在xx0处的导数有哪几个基本步骤？,知识回顾,3.导数f(x0)表示函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有某种几何意义，是一个需要探究的问题.,问题提出,导数的几何意义,本节重点：导数的几何意义及曲线的切线方程本节难点：求曲线在某点处的切线方程,1、设曲线C是函数yf(x)的图象，过曲线
2、C上一点P(x0，y0)作直线l，那么直线l与曲线C有哪几种位置关系？,相交，相切.,探求新知,2、在曲线C上取一点P(x0，y0)及临近的一点Q(x0 x，y0y)作割线PQ，那么割线PQ的斜率是什么？,探求新知,3、当点Q沿曲线C无限接近于点P时，割线PQ的极限位置是什么？,过点P的切线.,探求新知,4、如何根据割线PQ的斜率求切线PT的斜率？所得的结论是什么？,探求新知,导数的几何意义是什么？,5、过曲线C上一点P(x0，y0)的切线方程是什么？,探求新知,6、根据函数h(t)4.9t26.5t10的图象，如何描述、比较曲线h(t)在t0，t1，t2附近的变化情况？,t,h,O,t0,t
3、1,t2,l0,l1,l2,在tt0附近曲线比较平坦，曲线在tt1附近比在tt2附近下降得缓慢.,探求新知,7、若f(x0)0或f(x0)0，则函数f(x)的图象在xx0近的升降情况分别如何？,f(x0)0时，函数f(x)的图象在xx0附近上升；,f(x0)0时，函数f(x)的图象在xx0附近下降.,探求新知,8、对于函数f(x)x2，若求f(0)，f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，是否要逐一求导，怎样计算最简单？,9、对于函数f(x)x2，f(x)等于什么？当x在R内变化时，f(x)是函数吗？,f(x)2x,探求新知,一般地，当x变化时，f(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数（
4、简称导数），利用极限如何求f(x)？,形成概念,1、利用极限如何求f(x)？,新知探究,2、如何理解导函数f(x)的值域？,函数f(x)图象上各点的切线的斜率组成的集合.,探求新知,1深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数，不是变量(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f(x0)根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f(x),3、如何理解导函数f(x)与f(x0
5、)的区别与联系？,(3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值，即f(x0)f(x)|xx0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值,2函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但它不可导,例1求函数yf(x)2x24x在x3处的导数分析求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数的导数表达式，再代入变量求导数值，上一节已经学过第一种方法现在我
6、们用第二种方法求解,典例讲评,例2 求曲线 上一点 处的切线方程.,12x3y160.,典例讲评,2.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在曲线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点（关键：求曲线“在”一点处的导数还是“过”一点处的导数，通过点的坐标代入曲线方程检验得到）,失误防范1求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上；在点P处的切线，点P必为切点，且在曲线上,例4 求斜率为4，且与抛物线yx22x相切的直线方程.,y4x1.,例5在曲线yx2上
7、过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)倾斜角为135.分析解此类题的步骤为：先设切点坐标(x0，y0)；求导函数f(x)；求切线的斜率f(x0)；由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；由于点(x0，y0)在曲线yf(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标,典例讲评,例6 已知函数yf(x)的图象，试画出其导函数f(x)图象的大致形状.,典例讲评,1.导数f(x0)表示函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率，这是导数的几何意义.,课堂小结,2.设点P、Q为曲线C上两点，当点Q逐渐靠近点P时，线段PQ逐渐贴近曲线弧，过点P的切线PT最贴近点P附近的
8、曲线，因此，在点P附近，曲线f(x)可以用过点P的切线PT近似代替.,课堂小结,P10习题1.1A组：5，6.P11习题1.1B组：1，2.,布置作业,1.已知函数yf(x)ax2c，且f(1)2，求a.,课后练习,3.直线l：yxa(a0)和曲线C：yx3x21相切(1)求a的值；(2)求切点的坐标,4.已知曲线C：y3x42x39x24，(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点？,5.求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积,6.曲线y2x21在点(0,1)处的切线的斜率是()A4 B0 C4 D不存在,7曲线yx3在点P处的切线斜率为3，则点P的坐标为()A(2，8)B(1,1)，(1，1),
