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1、压杆稳定,第十一章,(1)在杆端加F1小于某个临界值Fcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在F1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。,11-1 稳定性概念,(2)当F2等于某个临界值Fcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。,由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。,压杆失稳 直线平衡状态改变为微弯平衡状态。,F Fcr 压杆处于稳定平衡,F=Fcr 压杆失稳
2、,Fcr 临界压力 临界力,工程实际中的压杆不允许失稳。,对于稳定问题，关键是求出临界压力Fcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。,11-2 两端铰支细长杆的临界载荷,如前所述，临界压力Fcr是这样一个值：,当F Fcr，杆能保持直线平衡状态；,当F=Fcr，杆处于微弯平衡状态；,Fcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。,求临界压力的思路：,假设杆处于微弯的平衡状态，求此时最小的轴向压力。,假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，,L,y,F,P,x,F,代入挠曲线近似微分方程，,EIv=M=Fv,EIv+Fv=0,二阶常系数齐次线性微分方程,L,y,F,x,F,v,F,F
3、,x,M,x,y,由平衡条件，易得：,M(x)=Fv(x),v+k2v=0,通解：v=c1sinkx+c2coskx,边界条件：,x=l v(l)=0,v(0)=c1sin(k*0)+c2cos(k*0)=c2=0,v=c1sinkx,v(l)=c1sinkl=0,x=0 v(0)=0,c1 0 否则 v 0 与假设矛盾,sinkl=0,有：kl=n n=0，1，2，,临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力,欧拉公式,杆件失稳 由直线变成曲线,(0 xl)半个正弦波,例 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。,由平衡条件,M(x)=F(v),代入挠曲线近似微分方程,EIv=M(x)=F(v)
4、,v,y,L,F,x,x,M,F,11-3 两端非铰支细长杆的临界载荷,EIv+Fv=F,v+k2v=k2,通解为 v=c1sinkx+c2coskx+,边界条件:,x=0 v(0)=0,x=l v(l)=,v(0)=c1sin(k*0)+c2cos(k*0)+=0,x=0 v(0)=0,c2+=0 c2=,v(0)=kc1cos(k 0)kc2sin(k 0)=0,kc1=0,v(x)=kc1coskx kc2sinkx,c1=0,v(x)=(1 coskx),v(l)=(1 coskl)=,n=0，1，2，,n=0，1，2，,(0 x l),v(l)=0,A,l,B,A,A,l,l,半个正
5、弦波,个正弦波,MA=MB=0,MA=MA=0,相当长为2l的两端简支杆,对比：,图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度 l 称为原压杆的相当长度，即相当 l 这么长的两端铰支杆。,两端固定,l,0.5l,F,一端固定，一端铰支,两端固定,l,0.7l,Fcr,l,0.5l,F,不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：,：长度系数 l：相当长度,两端铰支=1,一端固定，一端自由=2,一端固定，一端铰支=0.7,两端固定=0.5,
6、11-4中小揉度杆的临界压力,一、临界应力与柔度,欧拉公式,：柔度，长细比,对细长杆,二、欧拉公式的适用范围,cr p,欧拉公式成立的条件：,欧拉公式适用范围 p,Q235 钢，E=206GPa p=200MPa,三、临界压力的经验公式,B,C,A,cr,D,cr=ab,cr=s,s,P,s,P,O,0 s 称为小柔度杆，cr=s,s p 称为中柔度杆，cr=a b,a、b与材料性质有关的常数,曲线 A、B、C、D 称为临界应力总图，越大，cr 越小，Pcr=cr A 越小，越容易失稳。,11-5 压杆稳定条件与合理设计,一、压杆稳定条件 稳定安全系数法,考虑一定的安全储备，稳定条件为：,F：
7、工作压力,Fcr：临界压力,nst：额定安全系数,稳定计算的一般步骤：,分别计算各个弯曲平面内的柔度y、z，从而得到max；,计算s、p，根据max确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr=s，中柔度杆cr=ab，大柔度杆,计算Fcr=crA，利用稳定条件,进行稳定计算。,例112 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，,3m,C,F,B,3.5m,2m,A,D,P=200MPa，s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。,解：由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：,A,C,N,F,B,xA,
8、yA,3m,2m,两端铰支=1,p,可用欧拉公式,由稳定条件,二、压杆稳定计算 折减系数法,工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力乘上一个小于1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：,cr=,1，称为折减系数,F：工作压力,：折减系数,A：横截面面积,：材料抗压许用值,根据稳定条件,解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。,查表，=0.72,故此千斤顶稳定性足够。,F,l=0.375m,例113 图示千斤顶，已知丝杆长度l=0.375m，,l,d,F,直径为d=0.04m，材料为Q235钢，强度许用应力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788)中b类杆件要求，最大起重量为F=80kN，试校核该丝杆的稳定性。,三、压杆的合理截面,合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。,从横截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。,尽可能使 I 增大；,尽可能使各方向值相等。,
