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1、常数项级数概念与性质,第九章 常数项级数,正六边形的面积,正十二边形的面积,引例,用圆内接正多边形的面积逼近圆的面积.,这个和逼近于圆的面积 A.,一、常数项级数的概念,(2)物理,乒乓球自高度为H的地方落下,每次弹回的高度是前次下落高度的2/3,则乒乓球跳动的时间为,1.级数的定义,则称表达式,为常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，,给定数列,称为级数的通项。,记作：,（常数项）级数（1）的前 n 项之和,Sn称为级数（1）的部分和,部分和也构成一个数列Sn,2.级数的收敛与发散,定义,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,给定一个正三角形，在每条边上对称地产生边长为原边长的1/3的外凸小正
2、三角形如此反复操作，可以得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,第一次分叉：,依次类推,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,例,讨论下列级数的敛散性：,(1)等比级数(几何级数),当|q|1时，由于 不存在，所以 不存在,解 部分和,当|q|1时，,级数发散，,级数发散,所以,发散.,故由柯西收敛准则可知Sn发散.,解：,(2)调和级数,已知级数为等比级数，,解：,例,由等比级数的敛散性，,通项,例 3 考察级数 的敛散性。,解 部分和,所以此级数收敛,且和为 S=1/2。,例4 考察级数 的敛散性。,所以级数发散。,
3、解,定理 1,例 5,解,性质1,二、收敛级数的基本性质,性质2 删去或添加有限项不会改变级数的敛散性,乘以非零常数不改变级数的敛散性。,例 6 判定下列级数的敛散性：,解 级数,而 是公比为 的等比级数,收敛。,所以由性质1知级数 收敛。,解 调和级数 是发散的，收敛,由反 证法及性质1知 必发散.,解 级数 是由级数 添加 这九项后组成的。,而 是以2为公比的等比级数，发散，所以由性质3知，原级数也发散。,性质3(收敛必要条件),注意：,（1）如果级数的通项不趋于零,则级数发散;,（2）是必要而非充分条件,因此级数发散.,但级数发散.,例7 判定下列级数的敛散性：,解(1)通项 不存在。,(2),不满足级数收敛的必要条件,故级数发散。,注:,(1)发散数列不满足性质4，如,1+(11)+(11)+=1,而(1+1)+(1+1)+=0.,性质4,(2)收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,级数收敛,推论：如果加括号后所成的级数发散,则 原来级数也发散.,例8 判定级数的收敛性:,定理（Cauchy收敛原理）,证：,由数列的Cauchy收敛原理即得,收敛 0,NN+,当nN时,pN+,有,设,则,例9,解:,所以级数收敛，,习题9.1(P201-202)2(2),3(2),5(1)(2)(5),6,7,8(1),
