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1、常染色体遗传模型,在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因对，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基 因A和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。例如,金鱼草是由两个遗传基因决定它的花的颜色,基因型为AA的金鱼草开红花,基因型为Aa的金鱼草开粉红色花,而基因型为aa的金鱼草开白色花.,给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如 表(1)所示。,双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。,例 农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采
2、用 AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？,（a）假设（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型 为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比,n=0,1,2,。令x(n)为第n代植物的基因型分布：,当n=0时,表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）,显然有,（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n1代的AA型与AA型结合,后代全部是AA型；第n1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n1代的aa型与AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2时,即,类
3、似考虑第n代中的Aa型和aa可推出,（ii）第n代的分布与 第n1代的分布之间的关系是通过表(1)确定的。,将（1）、（2）、（3）式相加，得,根据假设(I)，可递推得出：,对于(1)式.(2)式和(3)式，我们采用矩阵形式简记为,其中,（注：这里M为转移矩阵的位置）,由（4）式递推，得,(5),（5）式给出第n代基因型的分布可由初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩 阵P和对角阵D，使 M=PDP-1因而有 Mn=PDnP-1,n=1,2,其中,这里，是矩 阵M的三个特征值。对于（4）式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0,因此,所以,通过计算，因此
4、有,即,所以有,当,时，,即在极限的情况下，培育的植物都 是AA型。,若在上述问题中，不选用基 因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如 表所示。,模型讨论,M的特征值为,通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内 量e3：,因此,解得：,，所以,因此，如果用基因 型相同的植物培育 后代，在极限情况 下，后代仅具有基 因AA和aa。,市场占有率模型设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的客户。假定在10月末经过市场调查得知，甲
5、、乙、丙三家企业拥有的客户分别是：250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如表所示：,假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。,假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。,解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里,第二步：确定一次转移概率矩阵，此例由用户可能流动情况调查表可知，其一步转移概率矩阵为,矩阵中每一行的元素，
6、代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一行甲企业保持用户的概率是0.92，转移到乙、丙两企业的概率都是0.04，甲企业失去用户的概率是0.040.040.08。,第三步：利用马尔可夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为,12月份三个企业市场用户拥有量分别为：甲：乙：丙：,现在，假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。,上述结果表明：如果甲、乙、丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去，那么经过一段时间后，三企业的市场占有率分别为45.58、15.98%和38.44%.显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速找出市场占有率下降的原因。,最佳服务地点选择,市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处。顾客可在甲、乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂。初步确定在汽车集中比较多的一处设置维修保养场。根据统计资料，顾客在上述三处还车的概率如表所示，试确定在何处设汽车维修保养场。,还车的概率,解：由题意可知，该问题的转移概率矩阵P为：,成立,上式展开，得,解上述联立方程式，得,故,由上述计算可知，在稳定状态汽车还到甲处得概率为0.5，即向甲处还车得概率占出租汽车得一半，其余乙、丙处总共也只有一半，因此汽车维修保养场设在甲处是最佳得选择。,
