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1、第四章 平面问题的极坐标解答,（习题讲解）,习题4-1,试导出位移分量的坐标变换式,习题4-2,设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。,解：,轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：,对于圆筒轴对称问题，有,ur 不随 变化，即,又由位移单值条件，有,常数A、B由应力边界条件确定。,应力分量：,边界条件：,习题4-3,设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q，试求圆筒壁的应力。,解：,刚体,边界条件：,代入边界条件，有,将常数A、C 代入，有,将常数A、C 代入，有,刚体,习题4-
2、4,矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。,解：,由图（a）给出的孔边应力结果：,得：,习题4-5,楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。,解：,（1）应力函数 的确定,由因次分析法，可知,代入相容方程：,得到：,（2）应力分量的确定,由对称性，,应为 的偶函数；,应为 的奇函数，,因而有，,（3）由边界条件确定常数,边界条件：,代入，有：,代入应力分量式，有,代入应力分量式，有,习题4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。,
3、解：,由密切尔（J.H.Michell）解答，得,由应力分量的坐标变换式：,由坐标变换式：,材料力学结果：,截面弯矩,截面惯性矩,截面正应力,弹性力学结果,两者结果相差较大。,习题4-7,曲梁在两端受相反的两个力 P 作用，如图所示。试求其应力分量。,解：,（1）应力函数的确定,分析：,任取一截面，截面弯矩为,将其代入相容方程：,（a）,上述欧拉方程的解：,（b）,代入应力函数为,（c）,（2）应力分量的确定,（d）,边界条件：,代入应力分量得：,端部条件（右端）：,代入剪应力分量得：,（f）,联立求解式（e）、（f），得：,（e）,自然满足,其中，,代入应力分量式（d），有：,（f）,习题4
4、-8,设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。,解：,（1）应力分量,提示：须要考虑位移单值条件。,（2）确定常数,取一半径为 r 的圆板为隔离体，,其上受力如图。,由圆板的平衡，得,代入应力分量，有,代入应力分量，有,恒等式,（3）由位移单值条件确定常数 A,由物理方程与几何方程：,其中：,应力分量：,积分得：,代入：,将 ur 代入积分得：,将 ur u 代入r,要使上式对任意的 r、成立，有,其中：L为常数。,（a）,（b）,求解式（a），有,（c）,将式（b）变为：,（d）,（d）,求解式（b），有,（e）,（f）,将 代入 u,有,由位移
5、单值条件，有,代入应力分量：,得到：,习题4-9,半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q,如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：,（叠加法）,证法1:,（叠加法）,证法1:,分析思路：,求解步骤：,由楔形体在一面受均布压力问题的结果：,（4-25）,（由应力分量的坐标变换）,应力分量的直角坐标形式,y y+a,y ya,（积分法）,证法2:,利用半限平面边界上作用法向集中力 P 的结果，有：,由图中的几何关系，有：,（1）,将以上关系式代入式（1），有,（2）,（3）,积分上式，有：,补充题,列写图示问题的边界条件,试证明：,补充题,满足极坐标下平衡微分方程（4-1）,补充题,证明极
6、坐标系下应变协调方程可表示为:,轴对称情况下：,补充题,设弹性体受径向和环向常体力：作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解：,证明:,（41）,代入极坐标下的平衡微分方程:,显然，有:,（1）,表明式（1）为方程（4-1）的一个特解。,在弹性体受径向和环向常体力：作用下，下列应力分量可否为某个问题的可能解？,思考题：,（2）,答案：,不能成为某个问题的解。,为什么？,有一薄壁圆筒的平均半径为 R，壁厚为 t，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,有一薄壁压力容器，受内压 p 作用，其平均半径为 R，壁厚为 t。现在容器壁上发现一半径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？,补充题1.,补充题2.,
