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1、1,2009年3月6日,第4章 扩散方程的数值解法及其应用,2,4.1 一维导热问题,一、一维导热问题的通用控制方程,3,一、一维导热问题的通用控制方程（续）,4,二、用控制容积积分法导出离散形式,假设：（源项线性化）,5,二、用控制容积积分法导出离散形式（续）,分段线性插值（中心差分）,6,三、界面上当量导热系数的确定方法,根据界面上热流密度连续的原则：根据界面上当量导热系数的含义：调和平均法：,7,三、界面上当量导热系数的确定方法（续）,算术平均法：调和平均法优于算术平均法。导热系数发生阶跃变化时的处理方法：(1)把阶跃面作为控制容积的分界面。(2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）
2、,8,四、一维非稳态导热方程及其离散化,采用全隐格式离散：,9,四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）,令：得：其中：,10,4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程(1)直角坐标系非稳态项：,11,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,源项：,扩散项：,12,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,整理得：其中：,13,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,(2)圆柱轴对称坐标系,14,一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）,(3)极坐标系,15,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式,三种坐标系的区别：x-y x-r q-r东西坐标 x x q
3、引入尺度系数SX南北坐标 y r r 引入名义半径R通用离散形式：,16,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）,17,二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）,18,4.3 源项及边界条件的处理,一、非常数源项的线性化处理说明：1、当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定为常数更合理。2、线性化处理是建立代数方程所必须的。3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP0。4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。,19,一、非常数源项的线性化处理（续）-举例,20,二、边界条件的处理,1、补充边界节点代数方程的方法第2类BC：内节点法Dx=0，得第3类BC：得：由控制容积平衡
4、法导出离散方程物理意义明确。对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。,21,二、边界条件的处理（续）,22,二、边界条件的处理（续）,2、附加源项法P点的通用方程：,23,二、边界条件的处理（续）,第3类BC：,24,二、边界条件的处理（续）,附加源项法的实施步骤：(1)计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC，SP中去。(2)令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。(3)按常规方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。(4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知
5、的边界温度。,25,二、边界条件的处理（续）,3、两种处理方法的比较附加源项法优于补充节点方程法(1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。(2)可以缩小计算区域。(3)节省计算时间。,26,4.4 求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式算法,一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法将：消元与回代写成：目的：,27,一、三对角阵算法（续）,先求P1，Q1：,28,一、三对角阵算法（续）,第1类边界条件下TDMA实施i=1：由于T1已知，应取P1=0，Q1=T1依此可以求得P、Q TM1已知求解步骤：(1)消元过程从i=2开始，取P1=0，Q1=T1(2)回代过程从i=M2开始，,29,一、三对角阵算法（续）,0,0,30,二、交替方向隐式算法,Peaceman-Rachford ADI格式非稳态问题交替方向隐式算法(Implicit)与 ADI稳态非线性问题交替方向迭代法(Iteration)在本质上是一致的。,
