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1、2014年普通高校招生统一考试（北京卷）数学（理科）一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则( ) 2.下列函数中，在区间上为增函数的是（ ） 3.曲线（为参数）的对称中心（ ）在直线上 在直线上 在直线上 在直线上4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） 5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）充分且不必要条件 必要且不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件6.若满足且的最小值为-4，则的值为（ ） 7. 在空间直角坐标系中，已知，若 ，分别表示三棱锥在，坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A
2、） （B）且 （C）且 （D）且 8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的，问满足条件的最多有多少学生（ ） （A） （B） （C） （D）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9. 复数_.10. 已知向量、满足，且，则_.11. 设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为_； 渐近线方程为_.12. 若等差数列满足，则当_时的前 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不
3、相邻，则不同的摆法有_种.14. 设函数，若在区间上具有单调性，且 ，则的最小正周期为_.三解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在中，点在边上，且 （1）求 （2）求的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一 场不超过的概率.（3） 记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明 在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17.（本小题14分） 如图，正
4、方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥 中，为棱的中点，平面与棱分别交于点. （1）求证：； （2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并 求线段的长.18. （本小题13分）已知函数，（1） 求证：；（2） 若在上恒成立，求的最大值与的最小值.19. （本小题14分）已知椭圆，（1） 求椭圆的离心率.（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列，记，其中表示和两个数中最大的数，（1） 对于数对序列，求的值.（2） 记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数
5、对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C（5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11） （12）8（13）36 （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因为，所以。所以=。（）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以（16） (I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比
6、赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。则C=，A,B独立。根据投篮统计数据，. 所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.（）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以。又因为平面PDE，所以平面PDE，因为平面ABF，且平面平面，所以。（）因为底面ABCDE,所以，.如图建
7、立空间直角坐标系，则，, .设平面ABF的法向量为，则即令，则。所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。因此直线BC与平面ABF所成角的大小为设点H的坐标为。因为点H在棱PC上，所以可设，即。所以。因为是平面ABF的法向量，所以，即。解得，所以点H的坐标为。所以（18）（共13分）解：（I）由得 。 因为在区间上，所以在区间上单调递减。从而。（）当时，“”等价于“”“”等价于“”。 令，则， 当时，对任意恒成立。 当时，因为对任意，所以在区间上单调递减。从而对任意恒成立。 当时，存在唯一的使得。 与在区间上的情况如下： 0因为在区间上是增函数，所以。进一步，“对任意恒成立”当且仅当，即，
8、综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，对任意恒成立。 所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.（19）解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。 所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（） 直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，其中。因为，所以，即，解得。 当时，代入椭圆C的方程，得， 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。 此时直线AB与圆相切。 当时，直线AB的方程为， 即， 圆心0到直线AB的距离 又，故 此时直线AB与圆相切。（20）解：（I） =8（） . 当m=a时，= 因为，且，所以 当m=d时， 因为，且所以。 所以无论m=a还是m=d，都成立。（）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小， =10， =26， =42， =50， =529
