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1、1,第六讲方程求根的数值解法,2,第六讲主要知识点,1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；2、牛顿法的收敛性；3、牛顿法的收敛速度；3、弦截法思想。,3,一般迭代法,4,一般迭代法（续）,由前面的讨论可知，选择合适的迭代函数，是提高迭代数列 的收敛速度的关键。本节介绍一种确定迭代函数 的方法 牛顿法。牛顿法是求解方程 的一种重要方法，它的最大优点是方程在单根附近具有较高的收敛速度，它还可以用于求代数方程的重根、复根；也可以拓广用于求解非线性方程组的问题。,5,牛顿法,取 在 x0 做一阶Taylor展开:,将 看成高阶小量，则有：,只要，每一步迭代都有，而 且，,，则 的根。,（牛顿公式）,，在 x
2、0 和 x 之间。,6,牛顿法几何表示,令其为零，得切线 与 轴的交点为,从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程 的根就是曲线 与 轴的交点。设 为 的一个近似值，过曲线 上横坐标为 的点，引一条切线，其方程为,7,牛顿法几何表示（续1）,将此式 与上面求得的牛顿公式 进行比较即可知道：牛顿公式实际上就是用曲线 在 点 处的切线与 轴的交点作为曲线 与 轴交点的近似，如下图所示,8,牛顿法几何表示（续2）,x*,x0,x1,x2,9,牛顿法例题,例 用牛顿法求解方程,在,附近的根,解：将方程,转化为等价方程,令,，则牛顿迭代公式为,，迭代结果如下表3.6,10,牛顿法例题（续）,，迭代
3、结果如下表,取初值,，与例4、例6的迭代结果进行比较可见，牛顿公式的收敛速度是相当快的。,11,牛顿法的收敛性,12,牛顿法收敛性示意图,13,注：Newton法的收敛性依赖于x0 的选取。,x*,牛顿法收敛性示意图（续）,14,牛顿法例题,15,收敛速度定义,16,收敛速度定理,17,收敛速度定理证明,18,牛顿法的收敛速度,19,牛顿法应用,20,牛顿法优缺点,Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，Newton法无法进行。,21,牛顿下山法,（1）选取初始近似值x0；,（
4、2）取下山因子=1；,（3）计算,（4）计算f(xk+1)，并比较 与 的大小，分以下二种情况,否则若，而 时，则把xk+1加上一个适当选定的小正数，,即取xk+1+作为新的xk值，并转向（3）重复计算；当；且，则将下山因子缩小一半，取/2代入，并转向（3）重复计算。,牛顿下山法计算步骤可归纳如下：,1）若，则当 时，取x*xk+1，计算过程结束；当 时，则把xk+1作为新的xk值，并重复回到（3）。,2）若，则当且，取x*xk，计算过程结束；,22,例5：求方程 的根,牛顿下山法的计算结果：,例题分析,23,弦截法,24,弦截法（续）,25,弦截法的又一思想,则得双点或单点弦割法迭代格式,在牛顿迭代格式中，将曲线 上点 的切线斜率，改为其上两点连线(弦)的斜率,26,弦截法几何表示,27,单点弦截法,切线,割线,切线斜率割线斜率,28,双点弦截法,切线斜率割线斜率,需要2个初值 x0 和 x1。,29,例题分析,例12 用快速弦截法求方程,在,附近的根（）,解：取,由迭代公式求得下表3.9,故,，满足精度要求,30,本讲结束！谢谢大家！再见！,
