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1、第四章 方程求根的迭代法,高次方程,超越方程,问题：设 是实系数多项式或是任意实函数，求 的 根，其中.,定义 按照一定规则（某个固定的计算公式），把解的近似值逐步精确化，直到满足实际问题的精度要求.,迭代法,其基本思想如下：将方程 转化为等价方程,迭代函数,取初值，用显示公式 计算得数列,若，则计算停止，否则继续迭代.,记笔记,由 得表一：由表一知迭代 收敛于 的根.而由 得表二：由表二知迭代 是发散的,1.迭代函数如何构造？2.初值的选取3.误差估计（迭代结束的条件）,例 用迭代法求方程，在x=1.5附近的一个根,1 开方法,记笔记,k,记笔记,令，则由上式得对任意，总有，所以 定理1 开
2、方公式对于任意初值 均收敛思考题1若，开方公式结果如何？2证明对于任意，开方公式所得序列单调减有下界,2 法,迭代公式,迭代函数,1是否收敛于方程的根或什么条件下收敛？2.迭代函数有什么特性？,牛顿迭代法的几何解释,Newton法又称为Newton切线法或切线法,从几何的角度探讨牛顿迭代法的收敛性,x1,x2,不满足迭代条件时，可能导致迭代值远离根的情况而找不到根或死循环的情况,从几何角度探讨牛顿迭代法的收敛性,牛顿迭代法的计算流程,例 用牛顿迭代法求 x=e-x的根,=10-5解：因 f(x)=x ex 1,f(x)=ex(x+1)建立迭代公式,取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.5710
3、21,x2=0.567156,x3=0.567143,x4=0.567143,求倒数，就是求解方程,则相应的 迭代公式,思考题：1.讨论其收敛性及收敛条件,2.讨论牛顿迭代法的收敛条件,，其 法的迭代函数为,3 压缩映象原理,结束条件,(a),(b),定理2 设函数 在a,b上具有连续的一阶导 数,且满足（1）封闭性条件 对所有的xa,b 有 a,b（2）压缩性条件 存在 0 L 1,使所有的xa,b有 则 方程 在a,b上的根 存在且唯一，对任意的 a,b，迭代过程均收敛于.且成立,压缩映象原理,迭代结束的条件（事后误差估计法）,满足精度要求的最大迭代次数（事先误差估计法）,推论:若方程 在
4、区间 内有根 且则迭代 均发散,例1 对方程,构造迭代函数如下，.试讨论在1,2上迭代 的敛散性.解,则此时迭代公式满足迭代收敛条件，所以迭代 在此区间上收敛.所以 此迭代 发散.,例2 已知 讨论迭代 在区间 的敛散性.,例4 求 的近似值，.,例3 用下列迭代法求 的正根 的近似值，试判断其敛散性.（1）；（2）.,迭代法的算法框图,实验：1.探讨初值对迭代收敛的影响.2.同一方程构造不同的迭代，探讨敛散性；比较收敛迭代的收敛快慢情况.,三、局部收敛性定理3 设 在 的根 的邻域中有连续的一阶导数,且 则迭代过程 具有局部收敛性.,未知，如何求？,（1）定理3对初值的要求比较高，一般用对分
5、法找出较满意的初值，定理2对初值的要求较宽松（2）一个迭代若是整体收敛的，则一定局部收敛；反之则不成立,例5 已知方程 在 附近有一实根，讨论迭代 的敛散性.并计算结果，取.,解：令，则,取 计算结果见书.,附近的实根，且,则取 收敛于.,例6 设，要使迭代过程 局部收敛到,求 的取值范围.解：由在根 邻域具有局部收敛性时，收敛 条件,所以,例7 已知方程 在 内有根,且在上满足,利用 构造一个迭代函数,使 局部收敛于.解:由 可得,故,迭代公式,局部收敛于,分析，则由习题9,对应的迭代发散.,定义2 设迭代过程 收敛于 的根,记迭代误差若存在常数m（m1）和c（），使,则称序列 是 m 阶收
6、敛的,特别地,m=1时称为线性收敛,m=2时称为平方收敛.1 m 2时称为超线性收敛.,四、迭代过程的收敛速度,例8 讨论迭代公式，的收敛阶.,定理4 设迭代过程，若 在所求根 的邻域连续且 则迭代过程在 邻域是m阶收敛的.,证明：,则此迭代过程是m阶收敛的.,迭代过程 局部收敛于，又,例9 已知迭代公式 收敛于 证明该迭代公式平方收敛.证:迭代公式相应的迭代函数为,将 代入，,根据定理4可知，此迭代平方收敛.,牛顿迭代法的收敛性分析,定理5 设 是方程 的单根,且f(x)在 的某邻域内有连续的二阶导数,则牛顿法是局部收敛的,且至少为二阶收敛,有,证:牛顿迭代公式对应的迭代函数为 若 是方程
7、的单根,则有,从而,由定理3知,牛顿迭代法在 附近收敛.又由定理4知,迭代公式至少是二阶收敛的.,利用泰勒公式,所以,法逻辑结构简单，在单根附近时，收敛速度很快；但（1）若初值选取不当，迭代法可能失败或者收敛很慢；（2）若导数比较复杂，则每步的计算量较大；（3）若 为方程 的重根，结果如何？,4 法的改进与变形,4 法的改进与变形,下山法,其中(01)为下山因子,-下山法,为避免计算函数的导数，使用差商,称为弦截法迭代公式.（单点弦截法）,替代牛顿公式中的导数，便得到迭代公式,在单根附近线性收敛,使用差商替代牛顿公式中的导数,便得到迭代公式 称为快速弦截法迭代公式.（双点弦截法）,在单根附近收敛，收敛阶为1.618,例10 用快速弦截法求方程 在 初始值邻近的一个根.要求解：取,令 利用快速弦截法迭代公式,快速弦截法算法实现,迭代：改进：,5 加速算法,或合并写成：,例11 用加权法加速技术求方程 在0.5附近的一个根.解：因为在 附近 取L=-0.6，建立如下迭代公式,仍取,逐次计算得(精度为）,Aitken加速公式,例12 用埃特金方法求方程 在初值 附近的一个根,精度要求，,取迭代公式,解 埃特金方法迭代格式为,只迭代二次就得到满足精度要求的解.,作业习题四 5、10、12,课堂练习 1、6、7、8（1）、（2）、11、13、14、20、21,
