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1、方程求根的数值方法,有少数方程f(x)=0可以用传统的数学表达式推演而得到准确根，求根很容易，如：方程x2+x-2=0有两个根，是1、-2；方程lnx=0有一个根，是1。但这样的方法只能解极少数简单方程；对于大量的由实际问题而产生的方程，例如下面的方程就求不出准确根（即：一点误差都没有的根），只能用数值解法求近似根.,定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，ab，则方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该方程的一个有根区间。,若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个单根区间。,确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法进行求近似解。常用的方法有,
2、逐步搜索法、图形放大法、数值迭代逼近法,2）图形放大法,y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。借助计算机，逐步画图，就可得近似根。,1）逐步搜索法,适当取一个小正数h，逐步计算f(a)、f(a+h)、f(a+2h)、f(a+3h)、的值，直到相邻两个值异号，则取这两点的中点为近似根。,3）数值迭代逼近法,（1）区间迭代法（缩小有根区间）对分法 就是将已知有根区间a,b一分为二，比较三个数,的正负，根据“介值定理”确定哪一半有根；重复多次。,黄金分割法与对分法本质上一致，只不过每次压缩区间的比例不是一半，而是压缩比例为0.618（黄金分割比例）,区间迭代法 1）对分法 2）黄
3、金分割法点迭代法 1）简单迭代法 2）牛顿切线法 3）单点割线法 4）两点割线法,例1：用对分法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，误差0.05。,解：设f(x)=x4+x-3。则,有根区间是(1,2),有根区间(1,1.5),有根区间(1,1.25),有根区间(1.125,1.25),有根区间(1.125,1.1875),（2）点迭代法,若数列xk 收敛，则极限值就是准确根。满足x=(x)的点称为方程的不动点，此法又称为方程求解的不动点法。,注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。,一般迭代法：将
4、f(x)=0适当变形为x=(x),在根的邻近找一个点x0作为初始点，作迭代,定理（压缩映像原理）,设迭代函数 x(x)在闭区间a,b上满足：（1）对任意xa,b，(x)a,b；（2）满足Lipschitz条件,则 x(x)在闭区间a,b上 存在唯一解x*，使得对任意xa,b，由xk+1=(xk)产生的序列xk收敛于x*。,y=x,迭代法的几何意义,交点的横坐标即为f(x)=0的根。,y=(x),简单迭代收敛情况的几何解释,解：由 建立迭代关系：,例2：试用迭代法求方程 f(x)=x3-x-1=0在区间(1，2)内的实根。,k=0,1,2,3.,但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3
5、-1，k=0,1仍取x0=1.5，则有 x1=2.375，x2=12.39，显然结果越来越大，xk 是发散序列。,作业：证明函数 在区间1，2上满足迭代收敛条件。,牛顿迭代法：方程f(x)=0，求导f(x)，在根的邻近找一个点x0 作为初始点，作迭代,以此产生的序列Xn得到f(x)=0的近似解，称为Newton法，又叫切线法。,当初值x0和方程的根x*接近时，f(x)近似等于f(x0)+f(x0)(x-x0)，则f(x)=0与f(x0)+f(x0)(x-x0)0看作近似同解方程。取x=x-f(x)/f(x)作为迭代函数。,Newton迭代法几何解释,Newton迭代法算法框图,Newton迭代法算法,例1：用牛顿法求x4+x-3=0在(1,2)内的一个根，初值为1.5。,得到方程的一个近似根1.1640，误差小于0.0001.,解：,弦截法,Newton迭代法有一个较强的要求是存在导函数且不等于零。因此，用弦的斜率近似的替代f(x)。,令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2。,定端点弦截法又称单点割线法。,变端点弦截法又称两点割线法,弦截法的几何解释,求解方程f(x)=0的快速弦截法,通常求方程的根时：先分析确定单根区间，保证不漏根；再用逐步搜索法或二分法找到误差较小的近似根；最后用牛顿法或弦截法给出高精度的近似根。,作业：求下面方程的数值解。,谢 谢！,
