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1、6.8.4 方向导数与梯度,Directional Derivatives and Gradient Vectors,方向导数,Directional derivatives,讨论函数沿某个方向的变化率,：沿方向 的平均变化率,沿方向 的增量,函数,在点,沿方向,的方向导数：,沿方向,方向导数与偏导数,若偏导数 存在,则,其中,则,其中,因此，在一点处沿 x 轴或 y 轴方向的方向导数存在，也不能保证该点的偏导数存在。,方向导数是单向导数（因为）,而偏导数是双向导数（因为 可正负）,类似于一元函数的单侧导数,例,求函数,在原点沿任何方向的方向导数,解,设方向向量为,即,函数,(圆锥面),在原点
2、沿任何方向的方向导数均为1,但是,在原点的偏导数不存在,上半圆锥面,无偏导数,无导数,圆锥面在顶点无切平面,定理8.1,读书,利用偏导数计算方向导数的公式,证明,由可微性,若 不是单位矢量，则,方向导数,是梯度,在方向 上的投影,三元函数,在点,沿方向,的方向导数：,例8.5,解,例8.7,解,梯度,Gradient vectors,当,即，,与矢量,方向相同时，,方向导数取到最大值：,因此矢量,是使函数在一点的方向导数达到最大值的方向,矢量,是使函数在一点增加得最快的方向,称矢量,为函数,在点,处的梯度矢量，,简称梯度,(gradient),记作,梯度是一个矢量,它是函数,在点,处取得,最大
3、方向导数的方向,最大方向导数为：,梯度的几何解释,函数,的等值线：,由隐函数的讨论，知梯度,是等值线,在点,处的法矢。,教材p.89,故，梯度矢量,在任何点都垂直于函数的等值线,并且从函数值较小的等值线指向函数值较大的等值线。,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在xoy面上投影如图,等值线,梯度为等值线上的法向量,contourplot(x/(x2+y2+1),x=0.4,y=-3.3,contours=15,thickness=3,color=brown);,plot3d(x/(x2+y2+1),x=0.4,y=-3.3,contours=15,thickness=3,co
4、lor=brown);,反梯度方向,梯度方向,最速增曲线,最速降曲线,with(plots):p1:=contourplot(x/(x2+y2+1),x=0.2,y=-2.2,contours=15,thickness=2,color=brown):p2:=gradplot(x/(x2+y2+1),x=0.2,y=-2.2,arrows=thin,thickness=2,color=black):display(p1,p2);,函数的等值线及其梯度场：正交,梯度的几何解释,三元函数,的等值面：,由切平面的讨论，知梯度,是等值面,在点,处的法矢。,故，梯度矢量,在任何点都垂直于函数的等值面,并且
5、从函数值较小的等值面指向函数值较大的等值面。,例8.8,例8.8,的一个等值面,with(plots);implicitplot3d(x2*y+x*z=3,x=-10.10,y=-10.10,z=-10.10,style=patchcontour,axes=boxed);,例8.8,的一个等值面,gradplot3d(x2*y+x*z,x=-2.2,y=-2.2,z=-2.2,color=red);,6.8 矢量分析,例8.6,最陡的方向是梯度方向,最大的坡度为：,with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=5-x2-2*y2,x=-2.5.2.5,y=-2.2,
6、z=0.6,style=patchcontour,numpoints=2000):x_axis:=plot3d(u,0,0,u=-3.3,v=0.0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d(0,u,0,u=-2.2,v=0.0.01,thickness=2):z_axis:=plot3d(0,0,u,u=0.6,v=0.0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=23,66);,The contours,contourplot(5-x2-2*y2,x=-3.3,y=-3.3,conto
7、urs=30,color=red);,例,一只蚂蚁不幸落在一块发烫的铁板上。铁板上的温度场为：,蚂蚁落在点 M(1,1)处,此处温度高达76度。蚂蚁差一点被烫死。,蚂蚁想：我不能就这样死去。我一定得设法逃出去。家里上有老、下有小，全家人还在等我找东西回去给它们吃呢！怎么办？蚂蚁突然想起那天在教室觅食时（因为学生经常在教室吃面包）好奇地听到微积分老师在讲梯度。虽然没有完全听懂，但是蚂蚁对老师讲的一句话印象很深：温度下降最快的方向是梯度的反方向。当时，蚂蚁凭直觉，觉得这个知识将来可能有用，就把它暗暗地记了下来。于是，聪明的蚂蚁决定选择梯度的反方向逃命。,解,蚂蚁选择温度最速降曲线来逃命,这是梯度
8、的反方向：,设蚂蚁的逃跑曲线为,则该曲线的切线方向是：,又,令,得,积分,积分,得,将 x=1,y=1 代入上式：C=5,蚂蚁的逃跑曲线：,抛物线,with(plots):qumian:=implicitplot3d(z=80-2*x2-y2-x,x=-20.20,y=-20.20,z=0.80,style=patchcontour,numpoints=20000):x_axis:=plot3d(u,0,0,u=-8.8,v=0.0.01,thickness=2):y_axis:=plot3d(0,u,0,u=-10.10,v=0.0.01,thickness=2):z_axis:=plot3
9、d(0,0,u,u=0.90,v=0.0.01,thickness=2):display(qumian,x_axis,y_axis,z_axis,orientation=23,66);,温度场：,有等温线的立体图,有等温线的俯视图,with(plots):dengwenxian:=contourplot(80-2*x2-y2-x,x=-3.3,y=-3.3,contours=30,color=red):tidu:=gradplot(80-2*x2-y2-x,x=-3.3,y=-3.3,color=black,arrows=slim):paowuxian:=implicitplot(5*y2=4
10、*x+1,x=-3.3,y=-3.3,color=brown,thickness=3):display(dengwenxian,tidu,paowuxian);,等温线,逃跑曲线,事后，大难不死的蚂蚁语重心长地对它的孩子说：“孩子们，你们长大了也要学一点微积分，尤其是梯度。有时，你觉得没有什么用处的知识，关键的时候可以救你一命呀。”“要不是那天，你爹我去拣面包屑，听到老师讲梯度的知识，我的老命早就没啦。真的好感谢那位微积分老师（还有他的上课吃面包的学生）。他们都是我的救命恩人呀！”,后 记,本故事纯属虚构切勿对号入座,声 明,梯度算子：,梯度算子或 Hamilton 算子,Laplace 算子,End,习题6.8 78911,
