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方向导数与梯度,第七节,一、方向导数,即函数在一点 P 处沿某一方向的变化率,1.方向导数的定义,当 沿着 趋于 时，,则称其为,方向导数，,其中,由定义可知，,2.方向导数的计算,定理,解,由方向导数的计算公式知,故,解,解,解,令,故,方向余弦为,故,在此处沿 方向的方向导数(1991),的指向外侧的法向量，求函数,注意,证,函数在点P 可微是函数在点P 沿任意方向的,方向导数存在的充分条件，而非必要条件,二、梯度,在有关函数的方向导数问题的讨论中，,我们常常需要解决的问题是：,为此我们引入梯度的概念,即,所以方向导数是梯度在射线 l 上的投影,故 梯度方向是函数增长最快的方向,梯度的概念可以推广到三元函数,与二元函数类似，其方向与取得最大方向导数,其模为方向导数的最大值,方向一致，,解,由梯度计算公式得,故,解,解,
