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1、第二章 有 限 域 结 构,1,有限域的特征特征的含义无零因子含幺环的特征:0 或者素数素域：Q 和 Z/(p)=0,1,p 1定理 设F 是域,P 是 F 的素域.若char F=p,则 P Z/(p).若char F=0,则 P Q.有限域的特征是素数无限域的特征一定是 0 吗？,2,有限域的元素个数特征为 p的有限域F 都是Fp上的有限（维数）扩张。|F|=pn,n=F:Fp.任意给定素数 p和正整数n,是否一定存在 pn元有限域？如何构造有限域？,3,有限域的存在性与唯一性存在性定理 对每个素数 p和每个整数n,存在 pn元有限域.证明q=pn,F是xq x在Fp上的分裂域.S=aF|
2、aq a=0S=F.,4,唯一性定理 设F 是q=pn元有限域,则 F 是同构于xq x在Fp上的分裂域.q元有限域记为Fq,5,Characterization of Finite Fields,子域的存在唯一性定理 设q=pn,若E是Fq的子域，则|E|=pm,其中m是n的正因子；反之，若m是n的正因子，则Fq 有唯一的 pm元子域。例：F230的全体子域,6,设 f(x)是Fp上的 n次不可约多项式Fpx中的同余关系a(x)b(x)mod f(x)f(x)|a(x)b(x)over Fp任意给定的g(x)Fpx与Fpx中某个次数小于n的多项式（包括0）同余g(x)=f(x)q(x)+r(
3、x),r(x)=0 或deg(r(x)n g(x)r(x)mod f(x)Fpx模 f(x)的全体两两不同余的代表元为r(x)Fpx|r(x)=0 或deg(r(x)n,7,pn,设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式F=r(x)Fpx|r(x)=0 或deg(r(x)n 多项式的加:g(x)+h(x)模 f(x)的乘法:g(x)h(x)(mod f(x)是否域？F关于加法构成群F0关于乘法构成群F是 pn元有限域,8,Fpx/(f(x)F,16元有限域F24f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式F=(0,1,x,x+1,x2,x2+1,x2+x,x2+x+1,x3,x3+1,x3+x,
4、x3+x+1,x3+x2,x3+x2+1,x3+x2+x,x3+x2+1,+,mod f(x)F2x/(x4+x+1)F,9,(x2+x)+(x3+x+1)=x3+x2+1(x2+x)(x3+x+1)=x3+x2+x+1,16元有限域F24f(x)=x4+x+1是F2上的不可约多项式g(x)=x4+x3+1是F2上的不可约多项式F2x/(f(x)F2x/(g(x)能否给出同构映射？（作业）,10,Fp上n次不可约多项式的存在性定理 记有限域Fq的全体非零元Fq*，则Fq*关于乘法运算是循环群.,11,Fp上n次不可约多项式的存在性定理 记有限域Fq的全体非零元Fq*，则Fq*关于乘法运算是循环
5、群.证明 ord(12n)=q1,12,本原元（primitive element）乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。Fq中有(q1)个本原元,13,Fp上n次不可约多项式的存在性定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张。推论 存在Fp上的n次不可约多项式。,14,不可约多项式的根元素 Fqn在Fq上的极小多项式:首一,不可约设 f(x)是Fq上的n次不可约多项式，是 f(x)在Fq扩域上的根(问:是否有重根?)f(x)的全体根,q,q2,qn1Fq()是qn元有限域,Fq()Fqn 是 f(x)的分裂域Fq上的n次不可约多项式的分裂域同构 Fqn,15,共轭元设Fqm
6、是Fq的扩张,Fqm,则,q,q2,qm1称为关于Fq的共轭元。注：设Fqm,则关于Fq的共轭元两两不同当且仅当在Fq上的极小多项式次数等于m。注：若d 是m的因子,关于Fq共轭元的不同元素为,q,q2,qd1,每个元素重复m/d 次.,16,共轭元定理 设Fqm是Fq的扩张,Fqm,则关于Fq的共轭元在乘法群Fq*中有相同的阶。推论 若Fqm是Fqm中的本原元，则关于Fq的共轭元都是Fqm中的本原元。,17,Fqm的Fq-自同构若是Fqm的自同构并且对于aFq 有(a)=a,则称是Fqm的Fq-自同构。,18,Fqm的Fq-自同构定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0,1,m1,其j()=qj,Fqm,0 j m1.证明验证j 是Fqm的Fq-自同构说明0,1,m1两两不同若是Fqm的Fq-自同构，则0,1,m1,19,Fqm的Fq-自同构定理 Fqm的全体不同的Fq-自同构为0,1,m1,其j()=qj,Fqm,0 j m1.0,1,m1是循环群，生成元为1Gal(Fqm/Fq)=0,1,m1,20,
