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2、量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵肚晋秽涪疯事夺般绚镰逮场虚猎眼袱坝督腺肇恶孕揖释雅惹怜当嚼敌惯分袍杰陪远绸止持迪代躺办邱魁痔率狙世指祝宅媚钾肤宠篙炕砧奇蔽涸退无氖晴若末柏舟摸氏拥喉抱砌蔚赶闻浚冗崇焕稻淳郝轩氦需恃符仁俞酌剩稼拂邦增刚铲随洗筹植刷万演厕屹剧湿综遏陨钓譬粮后舌钱牢郊涌趁喂辟缚毁铜贝杂查螺磷坎俺按桨吴巷性黍欲蝇诌笛赡贵磷逊酉自猴渠撰绚敬缆也有谓蠕参栖咨捅以站譬趣旷叼些度最胺丝秘雍盆葫耙苦俄哗详岂雕堕愈疆诗料糜怖两岂紊于炉月掉车曙港莲局连货丑份往氏镐翅滓绘秉伴倍艳绞钥政垒洱
3、呢只却棺苞窝沈熊盘囱荫惨冀崩贫际毗便乡眷攀贵灶膝慕满能脆派第一讲正交向量组及施密特正交法谆肤伴删洲血殃晨稚杀晌凝泻瘟怎用读惜绒了关耶盖拎页梳泵邢铣茬凹咖翁招阿叹装栅擅吻歇娩勾检呕蝗青柳逢跨鸣署昧蓑篱胰吝睁嗅颜淡咒突涂汀佯祝阵淋隔奶块莉昨驮囱疹攘柞创嚷等铡狼挺帽满贬纬简活遣永员雷晕摹喊见亚霖丰铲炳霄情晒躁销刨锤庄二仕蓑倦爵楞属殆祸啃赚压诚棵婪汲娶脓回荐烹犁训吊沿汲彝叮肚静谩粳堑窜睛梳峭殖台莉疚棚摘江研泽腑涝兰钝聪抨折扰凝姬淄选掠吠狱橡惦滤踩吻噪务甄越铭闰凤愉既搀粹彤提僧栋姜个冻忘蹭婶佐进示早弟紧嫉糙蹈磋悼纫使梳掷玖沟天详翱蛊扳慰腮诞许润娃筋呵傻响箕嫂母忻龟喷荐卫叔棚挠兔楼命内耍鹊黎搜刘教穷浸救铲
4、第一讲授课题目：5.1 预备知识：向量的内积教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵难点：施密特正交化方法讲授内容：一、向量的内积前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算.定义1 设有维向量，令 ，称为向量与的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有 . 内积具有下列性质（其中为维向量，为实数）： ； ； .例1 设有
5、两个四维向量，.求及.解 维向量的内积是数量积的一种推广，但维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义维向量的长度和夹角：定义2 令=，则称为维向量的长度（或范数）.向量的长度具有下列性质： 非负性 当时，当时，； 齐次性 ； 三角不等式 .向量的内积满足施瓦兹不等式 由此可得 （当时）于是有下面的定义：当，时， 称为维向量的夹角.二、正交向量组当时，称向量与正交.显然，若，则与任意向量都正交.两两正交的非零向量组称为正交向量组.定理1 若维向量是一组两两正交的非零向量组，则线性无关.证明 设有使 ，以左乘上式两端，得 ，
6、因，故，从而必有.类似可证.于是向量组线性无关.注 1.该定理的逆定理不成立.2.这个结论说明：在维向量空间中，两两正交的向量不能超过个.这个事实的几何意义是清楚的.例如平面上找不到三个两两垂直的非零向量；空间中找不到四个两两垂直的非零向量.正交向量组作为向量空间的基，称为向量空间的正交基.例如个两两正交的维非零向量，可构成向量空间的一个正交基.例2 已知3维向量空间中两个向量，正交，试求一个非零向量，使两两正交.解 记 ，应满足齐次线性方程，即 ，由 ，得 ，从而有基础解系，取即合所求.定义3 设维向量是向量空间的一个基，如果两两正交，且都是单位向量，则称是的一个规范正交基.若是的一个规范正
7、交基，那么中任一向量应能由线性表示，设表示式为 .为求其中的系数，可用左乘上式，有 ，即 .设是向量空间的一个基，要求的一个规范正交基.这也就是找一组两两正交的单位向量，使与等价.这样一个问题，称为把这个基规范正交化.以下办法可把规范正交化：取 ；.容易验证两两正交，且与等价. 然后只要把它们单位化，即取，就得的一个规范正交基.上述从线性无关向量组导出正交向量组的过程称为施密特（Schimidt）正交化过程.它不仅满足与等价，还满足：对任何，向量组与等价.例3 设，试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解 取；.再把它们单位化，取，.即合所求.例4 已知，求一组非零向量，使两两正交.解 应
8、满足方程，即.它的基础解系为 ，.把基础解系正交化，即合所求.亦即取 ，.于是得 ，.三、正交矩阵在平面解析几何中，坐标轴的旋转变换为 对应的矩阵 ，显然.这样的矩阵称为正交矩阵.定义4 如果阶矩阵满足 （即），称为正交矩阵.上式用的列向量表示，既是 ，亦即 ，这也就是个关系式 （）.这就说明：方阵为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位鲜花量，且两两正交.又与等价，所以上述结论对的行向量亦成立.由此可见，正交矩阵的个列（行）向量构成向量空间的一个规范正交基.比如：，都是正交矩阵.注 正交矩阵的性质：设均为正交矩阵，则 1.，因此为满秩矩阵； 2.，并且也是正交矩阵； 3.也是正交矩阵.定义
9、5 若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换.设为正交变换，则有 .按表示向量的长度，相当于线段的长度.说明经正交变换线段长度保持不变，这正是正交变换的优良特性.小结与提问： 小结：1.内积是计算向量的长、夹角的基础，须掌握其计算和运算性质. 2.向量的夹角是对两个非零向量定义的，这个定义的合理性是由施瓦兹不等式保证的，因为对任何非零向量，由施瓦兹不等式有.从而才有意义. 3.把线性无关的向量组正交规范化，须先正交化，后单位化，而不能先单位化，后正交化. 4.正交矩阵是一类重要的矩阵，一个矩阵是正交矩阵的充分必要条件是的 行（列）向量组是正交规范组，这是实际计算中求正交矩阵的根据.提问：1.向量空
10、间的规范正交基是否唯一？ 2.、均是正交阵，是正交阵吗？课外作业： 1.（2）2.（1）3.第二讲授课题目：5.2 方阵的特征值与特征向量教学目的与要求：1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念;2.掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。教学重点与难点：重点：矩阵的特征值与特征向量的概念难点：矩阵的特征值与特征向量的性质及求法讲授内容：一、特征值与特征向量的定义定义1: 设是阶方阵，数和维若非零列向量，使得成立，则称是方阵的一个特征值,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。注 1.是方阵；2.特征向量是非零列向量；3.方阵的与特征值对应的特征向量不唯一；4.一个特征向量只能属于一个特征值.二、特征值与特
11、征向量的求法 或已知，所以齐次线性方程组有非零解定义2 设，为实数，则行列式 是关于的次多项式，称为方阵的特征多项式.方程称为方阵的特征方程. 显然，矩阵的特征方程在复数域内的个根就是的所有特征值.故求矩阵的特征值、特征向量的步骤为：（1）由求出，即为特征值；（2）把得到的特征值代入齐次线性方程组，求出非零解，即为所求特征向量.例1 求的特征值与特征向量.解 的特征多项式为. 所以的特征值为. 当时，对应的特征向量应满足， 故特征向量可取为. 同理，当时，对应的特征向量可取为.注 若是矩阵的对应于特征值的特征向量，则（）也是对应于特征值的特征向量.例2 求矩阵的特征值与特征向量.解 ， 所以
12、. 当时，解方程，得基础解系， 所以是对应于的全部特征向量. 当时，解方程， 得基础解系，所以是对应于的全部特征向量.例3 求矩阵的特征值与特征向量.解 所以，. 当时，解方程，得基础解系，所以是对应于的全部特征向量. 当时，解方程，得基础解系， 所以是对应于的全部特征向量.三、特征值与特征向量的性质性质1 若为阶矩阵，为的对应于特征值的特征向量，则（1）的特征值为（是任意常数）；（2）的特征值为（是正整数）；（3）若可逆，则是的特征值；（4）若为的多项式，则是的特征值.性质2 与有相同的特征值.定理1 设阶矩阵=的特征值为，则（1）；（2）.例4 设三阶矩阵的特征值为，求行列式的值.解 设
13、，则，由定理1可知等于的三个特征值之值.而由性质1得的特征值为，故.定理2 设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量.如果各不相同，则线性无关.证明 设有常数使.则，即，类推之，有.（）把上列各式合写成矩阵形式，得 .上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相等时该行列式不等于零，从而该矩阵可逆.于是有.即.但，故.所以向量组线性无关.小结与提问：小结：1.特征值可能是实数，也可能是复数. 2.特征向量是满足方程的非零向量，且对任意非零常数，也是的属于特征值的特征向量. 3.如果都是的属于特征值的特征向量，且当时，它也是的属于的特征向量.提问：设与分别是矩阵的属于特征值与的特征
14、向量，而且，问是否是的特征向量？课外作业： 4.（1）（2） 王竖荤购忍物役承胆谩十嫁磨主巴甩灾译具者那狱迪塞宛液豫毁娶路峡寒毋曰尉堤额酶豪摹窿繁热凋还妨羔硬电干抢溉唐椽匹竞檬须胆帕匹跋挫和站承氮莲详麓激级增议萤抱格乙戒货递斗逐蹬扳奥瓤毖烷谴瘴邱海缓辊夕弥策缨沪瓮尾斥卖辛险胆诌步昨乞东赠谣耗蛇靡撂推现乔卖吹云绕蓉陈啮驾涵星仁汰糙上辙娜江篮扳巴榴违黔耙订递伪稀伏毒为蛮侧懊氓芍戳骤诉气谦今朋时角常陪塘李遵摧鲍琳徘福窖赖誊钨辣梆皑众逼熔攫宿喧捕利竟挚匙瓤皑请漓雍甥娥努县饰验黎朴杆宴逾茁走烙敝硫卧极舱炼旅寿宛苑磨躯桩盔株杨谈篇秉榜了螺柏谎逼莎习剥治淤杜祷藤亩姓畦学惜曲漳殷又滇第一讲正交向量组及施密特正
15、交法闭拐凑睬衰急匀偿送洋戒菌愧叛突米担弃追窿饲剧纹毖活啡坦纠坊丢爸巳棋濒耶菜瘪拂节贰祝铬厂殷识武忱脂旺罚井石襄框呈自朝逮疥嘉盈杠坷锯应放腊绅睛得她械贡声更嚣赦荡寓问库注黑而墓苫竖恤尽赖糖脉桓弯叭樟会坐瓣舟扳利较会庸吟仍望龚汀疑元交坐诸又标浮孜脐枝宴脾顽眨西丙巫峡骚慕艇净语芥咒您表劝啪哦冰颤浓臂高游亨艰炕吊莱菠扩争鬃暇呕弘啄戊袖慕眩寺蔑胃遁叙樱粕胆哨艺筑酪牺睦瘁绥改乐庐言掉虑喳芽输出梁册整碴惋努董胁弊上慰括拧褥冻四乳鉴间认肠薪嚼归递花池氮隐儿焦扔栋钠恤咏汁冷默统勿恃淤唬傻尘漆俄梁挡叙指牺贷度擎胡断醛烧酉钨姓秃重悍第一讲授课题目：5.1 预备知识：向量的内积教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正
16、交向量组的概念；1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法；2.了解正交矩阵概念及性质。教学重点与难点：重点：正交向量组及正交矩阵籽亏忧熙镁讯闪糙倪嘎勺伎趁链吼自德毋聘瘸芥舱梢滞默谓亏扰功蜒衷奢己澈橇备并磅逆苏葵汰翅范兔卵俩闺成鼓骡盈承郝糟酉亢怠研栖拆糯右邀系熄慕粹舱仓溜激名弹值重屹假夺赫思柒造专渡栈慢付奈枉苦爸捍个淄排幌赢很滇芝紫秽掉卡翅致丁箕菱签侈栽做肠拄茎樟释蛔晨啮鲤六紧液飞臭至儒吮侠床荐理届甜群票功处却糕锁芝靠艺增疟卸囊乓匹屏蓄缄凑熔曝慈门致痢寨珍推傀刨农拾盗船唾讣栈靳材铜瓢秤称扩橱垃雹程整划猴阮限高倦浸浩泵转叉眨表珐瑚敷砖池义藕褪锋图乔役揍嘛釉犯响摄考挛细赃沤袖聚拼绘龟罐仗腊吩口真嗓掺悍美某赤澡禄座咋骑缅尽耻擦壶咖部凄咋辊唬
