机床误差综合数学模型.ppt

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1、第三章 机床误差综合数学模型,3.0 齐次坐标变换的基本概念3.1 齐次坐标变换的基本原理3.2 建立机床误差综合数学模型的基本方法3.3 建立机床误差综合数学模型的具体步骤3.4 建立机床误差综合数学模型实例,3.0 齐次坐标变换的基本概念,矩 阵,矢 量,转换矩阵,二维变换,解析式,如图所示，设P点在原坐标系O1:X1Y1Z1中的坐标值为(x1,y1,z1)，当O1:X1Y1Z1坐标系沿X1轴平移x至新坐标系O2:X2Y2Z2后，则P点在新坐标系O2:X2Y2Z2坐标系中的坐标值(x2,y2,z2)与(x1,y1,z1)的关系可表示为：式中：Trans(x)表征沿X1轴平移的平移矩阵。,齐

2、次坐标变换的基本概念,=Trans(x),坐标系的坐标变换Homogeneous coordinate transformation of coordinate system,Trans(x),三维变换,齐次坐标变换的基本概念三维变换,在坐标系的坐标变换示意图中，若坐标系O1:X1Y1Z1先分别沿X1、Y1和Z1轴平移x、y和z，再分别绕X1、Y1和Z1轴旋转x、y和z，则表征O1:X1Y1Z1经上述平移、旋转后转换到新坐标系O2:X2Y2Z2之间关系的齐次坐标变换矩阵为T=Trans(x)Trans(y)Trans(z)Rot(x)Rot(y)Rot(z)当旋转角度x、y和z非常小时，有 s

3、inxx;sinyy;sinzz;cosx1;cosy1;cosz1 当平移x、y和z分别有误差x、y和z时，如忽略二阶以上微量，可将上式齐次坐标变换矩阵简化为,齐次坐标变换的基本概念三维变换,3.1 齐次坐标变换的基本原理,3.1.1 齐次坐标变换定义 设对已给有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x，y，z），满足（齐次）关系：x=a11 x+a12 y+a13 z,T：y=a21 x+a22 y+a23 z,（3-1）z=a31 x+a32 y+a33 z,称T是把有序数组（x，y，z）变到（x，y，z）的一个齐次线性变换。有序数组（x，y，z）称为在变换T下的（x，y，z）的像，

4、而（x，y，z）则称（x，y，z）的原像。方阵（3-2）称为齐次线性变换T的方阵或齐次线性变换矩阵。若有序数组（x，y，z）及与之对应的有序数组（x，y，z）分别为两个空间坐标系A和B中的两个位置坐标，则称T是把坐标系A中的位置坐标（x，y，z）变到坐标系B中的位置坐标（x，y，z）的一个齐次坐标（线性）变换。,3.1.2 变换矩阵,图3-1 坐标之间的齐次变换,3.1.2 变换矩阵 如图3-1所示，A、B为二个空间坐标系，设r为坐标矢量，则有 rA=rB（3-3）其中 是从坐标系B变换到A的一个44齐次变换矩阵，根据坐标变换原理有（3-4）若角度、和 变化很小，并忽略二阶量则变换矩阵可为（3

5、-5）,3.1.3 机床运动误差的理论分析,由导轨在水平面内和垂直面内对基准轴线i的平行度（或垂直度）误差造成；由前、后导轨的平行度误差（扭曲）造成；和 分别由导轨在垂直面和水平面内的直线度误差（弯曲）造成。假定在x 处仅有导向误差，并且矢量 随 分别绕 旋转，则转换到 里成为矢量 例如，记矢量 绕 轴旋转 角而得到矢量 的坐标变换为，由解析几何可知，记列矩阵为 坐标变换矩阵为 同理，矢量 绕 轴旋转、绕 轴旋转 而产生的坐标变换矩阵分别为，有,r1,r1,r1,当矢量 顺次绕 轴旋转 角时，则 可通过矩阵相乘得出。即 符号“”表示记为。在上述三个旋转变换矩阵 的元素中，由于导轨导向误差 中角

6、位移误差数值量很微小，可以作如下近：。因此，三个旋转矩阵任意交换相乘都得到同一结果，亦即不论旋转的顺序如何，旋转坐标变换的矩阵都是相同的。即 的正负号按右手定则确定。在不考虑 的平移误差的情况下，在x处，里的P1点在 里的实际坐标为。已知P1点在 的理论坐标为，则P1点的线位移误差为式中 I 为单位矩阵；、为由角位移误差所产生的线位移误差。,r1,r1,综合考虑所由导向误差、以及进给系统的线位移误差 和由角位移误差所产生的线位移误差、和，则滑板行进到某处 x，固连于滑板任意点 的线位移误差为或 上式的数学模型可推广到用二对或三对直线导轨副进行二维或三维进给的加工场合。注意 是依位移不同而异的。

7、,机床溜板运动误差示意图,机床拖板运动表达的变换矩阵,对于如图的机床拖板运动，图中 为转角误差（一般很小），为移动误差，x为理论移动距离或位置坐标。用下列变换矩阵可以表达拖板的运动。,立式数控机床的主轴可抽象为如图所示。理想情况下，它绕着名义轴Z1轴旋转z时，它的变换矩阵为,转动副（主轴）的运动学模型,由于主轴的变形、主轴与轴套之间存在间隙以及轴向窜动等原因，使得主轴存在转角误差分量x、y和z，平移误差分量x、y和z。此时，坐标系O2:X2Y2Z2相对于坐标系O1:X1Y1Z1的变换矩阵为,Tr=T1-2 T,3.2 建立机床误差综合数学模型的基本方法,刀具与工件的联结链图,刀具与工件之间的联

8、结链图表达了两者之间的联系。由于刀尖和工件上正被切削的点为同一点，故刀具与工件之间的联结为封闭矢量链。误差运动综合数学模型可通过从刀具坐标系（坐标系K）到工件坐标系（坐标系0）的链转换而得到。对于每个运动副，必须建立一个坐标系。由于不但要考虑几何误差还要考虑热误差，故除了这些运动坐标系外，还需几个静止坐标系，像刀具、工件或主轴坐标系等。若有M个运动副和N个静联接，则需要定义M+N=K个坐标系，如下式，通过K次坐标转换才能完成全部链的转换。,工件的绝对坐标,刀具的绝对坐标,建立机床误差综合数学模型图示,3.3 误差运动综合模型建模的具体步骤,建立一系列坐标系及转换矩阵分别建立刀具、工件和基坐标系

9、的关系建立刀具和工件之间的关系,一、建立一系列坐标系,二、建立一系列转换矩阵、,分别建立刀具、工件和基坐标系的关系,机床刀具工件联结链,三、建立刀具和工件之间的关系,Wx=-xx+xy-xz-(Wz+Oxzz+z)yx+(Wy+Oxzy)zx+(Tz+L)yy-Tyzy-Wz yz+Wy zz+L ys-y Sxy+z Sxz+xyx-xzx+SxWy=-yx+yy-yz+(Wz+Oxzx+z)xx-(Wx+Oxzx)zx-(Tz+L)xy+Txzy+Wz xz-Wx zz-L xs+z Syz-xzy+xyy+SyWz=-zx+zy-zz-(Wy+Oxzy)xx+(Wx+Oxzx)yx+Ty

10、 xy-Txyy-Wyxz+Wx yz+xyz-xzz+Sz,误差综合数学模型,3.4 误差运动综合模型建模实例（一）实例一：车削中心的误差运动综合数学模型,机床结构简图及坐标系,坐标系设定 机床结构简图及所设坐标系如下（见下图）：（1）坐标系 r：设在机床上，为参考坐标系(固定坐标系)；（2）坐标系s：设在主轴上，随主轴热变形而移动；,（3）坐标系c：设在拖板上，随拖板沿Z轴运动(包括拖板热变形产生的运动)而移动；（4）坐标系t：设在刀架上，随拖板沿X轴运动(包括刀架热变形产生的运动)而移动。,误差元素分析 本机床为平面误差，所有误差产生在Z-X平面内，影响机床精度的主要误差元素有14个：（

11、1）有关Z轴：定位误差zz，直线度误差xz，转角误差，拖板坐标系c原点相对于参考坐标系r 沿X、Z方向的热漂移 和；（2）有关X轴：定位误差xx，直线度误差zx，转角误差，刀架坐标系t 原点相对于拖板坐标系c沿X、Z方向的热漂移 和；（3）有关主轴：主轴沿Z、X方向的热漂移误差（主轴热变形）rsx、rsz；主轴和Z轴的平行度误差sz；（4）其它：Z轴和X轴的垂直度误差zx。误差运动综合计算 先把刀尖坐标表达在其所在坐标系（刀架坐标系）中，再根据齐次坐标转化原理转化到参考坐标系。然后，把工件上正在被切削点的坐标表达在其所在坐标系（主轴坐标系）中，同理转化到参考坐标系。根据刀尖和工件上正被切削点位

12、于空间同一点，得这两部分的等式。最后，求解等式可得几何和热误差综合数学模型。,对于本例，有关刀尖位置有：（3-8）其中：为在参考坐标系r 的刀尖位置矢量；为从刀架坐表系t 到拖板坐标系c 的转化矩阵；为从拖板坐表系c 到参考坐标系r 的转化矩阵；为在刀架坐表系t 的刀尖位置矢量。有关工件位置有：（3-9）其中：为工件理想尺寸矢量，为工件尺寸误差矢量；为在参考坐标系r 中的工件尺寸矢量；为从主轴坐标系s 到参考坐标系r 的转化矩阵；为在主轴坐标系s 中的工件尺寸矢量（工件实际尺寸矢量）。刀尖和工件上正被切削点应在同一点位置，故有：=（3-10）最后，求解式（3-10）可得工件尺寸误差（或误差运动

13、）矢量。,假设机床没有任何误差，则易得：其中：Wz、Wx分别为工件轴向、径向的理想尺寸；z、x分别为为拖板Z轴方向、刀架X轴方向的运动行程；Mrcz、Mrcx分别为参考坐标系与拖板坐标系原点之间Z向、X向的距离；Mctz、Mctx分别为拖板坐标系与刀架坐标系原点之间Z向、X向的距离；Tz、Tx为刀尖在刀架坐标系中的位置。,（3-11）,根据齐次坐标变化基本原理，可得：其中：rs为主轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差。其中：rz为Z运动轴相对于参考坐标轴Zr的平行度误差，有sz=rz-rs。其中：rx为X运动轴相对于参考坐标轴Zr的垂直度误差，有sx=rx-rs。,（3-12）,（3-13）,（

14、3-14）,=,=,把式（3-11）至式（3-14）代入式（3-10），有：,=,整理并忽略高阶量，有：,其中：stz=rcz+ctz-rsz，stx=rcx+ctx-rsx。st为由机床热变形引起的刀具相对于主轴或工件的位移误差，直接反映了加工精度或工件尺寸的变化。在试验中，st可通过把位移传感器基座固定在刀架上测主轴而获得。,机床几何误差和热误差运动矢量关系图,3.4 误差运动综合模型建模实例（二）实例二：三轴立式数控机床的误差运动综合数学模型 典型的三轴立式数控机床如图所示，它主要包含工作台（X导轨）、滑台（Y导轨）和主轴（Z导轨）等部件。根据机床的实际工作特点，任意的机床结构都由一个封

15、闭的传动链组成，在切削点处分为两个开环，从床身开始，在一个环的末端夹持刀具，在另一个环的末端支撑工件。三轴数控机床的几何误差含有21项误差分量，如表所示，表中平移误差分量ij（i=x,y,z,，j=x,y,z）的第1个下角标表示误差的方向，第2个下角标表示机床部件的主运动方向；转角误差分量ij表示j导轨绕i轴的转角误差。,在三轴数控机床床身上定义绝对坐标系B，在滑台上定义相对坐标系S，在工作台上定义相对坐标系T，在主轴上定义相对坐标系H。定义OSTx、OSTy、OSTz分别为坐标系S的坐标原点与T的坐标原点在X、Y、Z方向上的偏差。类似地，可以定义OHBx、OHBy、OHBz的含义。定义床身坐

16、标系与滑台坐标系的原点相重合，即B与S的坐标原点重合。（1）滑台（Y轴）的运动学模型 当滑台沿Y导轨移动距离为y 时，滑台相对机床床身的变换矩阵为 TSB 滑台存在误差分量xY、yY、zY、xY、yY、zY，其相对机床床身的变换矩阵式中：滑台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，,（2）工作台（X轴）的运动学模型 当工作台沿X导轨移动距离为x时，工作台相对机床滑台的变换矩阵为 工作台存在误差分量xX、yX、zX、xX、yX、zX和xy，上式可被改写为 式中：工作台的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，工作台和滑台之间的垂直度误差引起的变换矩阵，,（3）主轴（Z轴）的运动学模型 当主

17、轴沿Z导轨移动距离z时，主轴相对机床床身的变换矩阵为 当主轴存在误差分量xZ、yZ、zZ、xZ、yZ、zZ、xz、yz时，上式可改写为 式中：主轴头的平移误差分量和转角误差分量引起的变换矩阵，由Y-Z垂直度误差和X-Z垂直度误差引起的变换矩阵，,（4）三轴数控机床综合运动学模型 设工件在工作台坐标系中的坐标为，则工件在绝对坐标系中的坐标为式中：工件在工作台坐标系中的理论坐标矢量列向量；工件在工作台坐标系中的误差坐标矢量列向量。而刀尖在绝对坐标系中的坐标为 式中：刀具的刀尖在主轴坐标系中的坐标矢量列向量。当刀具加工工件时，两者是接触的。因此，工件的被切削点和刀尖在绝对坐标系中是相等的，于是就有把

18、上式展开得,式中：，L为刀具的悬伸长度。因此，展开上式得,Wx=-LyZ+(L-z-OBHz)yY+(L-z-OBHz+OSTz)yX+(OBHy-y)zY+(OBHy-y)zX+xZ-xY-xX+zzx+yzZ Wy=LxZ+(z+OBHz-L)xY+(z+OBHz-L-OSTz)xX+(x-OBHx)zX-OBHxzY+yZ-yX-yY-zyz-xxy-xzZ Wz=(OBHx-x)yX+OBHxyY+(y-OBHy)xX+(y-OBHy)xY+zZ-zX-zY 式中：OBHz=L+OSTz 在实际建模过程中，为了简化计算，通常使得工作台的起始坐标原点与滑台的坐标原点两者在XOY平面上的投

19、影相重合。即于是，可简化为 Wx=-LyZ+(z+OSTz)yY-zyX-yzY-yzX+yzZ+xZ-xY+xX+zzx Wy=LxZ+(z-OSTz)xY+zxX+xzX-xzZ+yZ-yX+yY-zyz-xxy Wz=-xyX+yxX+yxY+zZ-zX-zY,3.4 误差运动综合模型建模实例（三）实例三：五轴加工中心的误差运动综合数学模型,德国德马吉（DMG）公司生产的万能镗铣床（DMU 70V）结构简图。该机床为高速五轴联动的加工中心。其有一旋转轴与水平面成45。,机床结构,建模实例,建模实例,误差综合关系表达式,建模实例,建模实例,运动副之间的齐次变换矩阵,运动副之间的齐次变换矩阵,建模实例,综合误差模型的推出,将运动副变换矩阵代入,舍去高阶小量，整理,建模实例,