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1、6-1 工程中的弯曲变形问题6-2 挠曲线的微分方程6-3 用积分法求弯曲变形6-4 用叠加法求弯曲变形6-5 简单超静定梁6-6 提高弯曲刚度的一些措施,6-1 工程中的弯曲变形问题,在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用
2、。,6-2 挠曲线的微分方程,1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。,2.梁位移的度量：,挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正,转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，逆时针转动为正,转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系,3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施,4.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，再利用边界条件（boundary condition）和连续条件(conti
3、nuity condition)确定积分常数。就可以求出梁横截面的转角和挠度。,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,5.讨论：,6-3 用积分法求弯曲变形,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,例6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的
4、整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,例6-3-
5、2 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,A,B,由边界条件：,得：,6-4 用叠加法求弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为y，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x)，转角为i，挠度为yi，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,叠加法前提,
6、力与位移之间的线性关系 小变形,例6-4-1 按叠加原理求A点转角和C点挠度。,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,例6-4-2 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC；B截面的转角B。,例6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。,解：,=,例6-4-4 刚架ABC承载如图,各杆的抗弯刚度为EI,求刚架自由端C的水平位移和垂直位移.,水平位移,垂直位移,6-5 简单超静定
7、梁,例6-5-1 试求图示系统的求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,A,B,几何方程变形协调方程,+,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,几何方程 变形协调方程：,解：建立静定基,=,例6-5-1结构如图，求B点反力。,LBC,C,=,+,=,LBC,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,例6-5-3 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。,需要注意，因lDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。,于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：,由此求得,6-6 提高弯曲刚度的一些措施,一、改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,改变载荷类型,二、选择合理的截面形状,三、选用高强度材料，提高许用应力值,同类材料，“E”值相差不多，“b”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度和稳定性。不同类材料，E和G都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa），故可选用不同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。但是，改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！,Any question?,祝大家学习愉快!,
