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1、三角形全等的判定定理,3.4,如果在ABC和 中，那么ABC与 全等吗？,图3-24,图3-25,（1）如果 和 的位置关系如图3-24，因为，将 绕顶点B旋转，可以使 的像与BC重合(如图3-25).又因，所以 的像与AB也重合，从而 的像就和AC 重合.于是 的像就是，因此.,图3-24,图3-25,（2）如果 和 的位置关系如图3-26，那么 和 全等吗？,图3-26,作平移使顶点B和顶点B重合，然后将 在平移下的像绕顶点B旋转，可以使 的像和ABC重合.从而ABC.,（3）如果 和 的位置关系如图3-27，那么 和 全等吗？,图3-27,先把 以边 为轴作轴反射，再作平移或旋转使 的像
2、和ABC重合，从而ABC.,边角边定理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”).,例1 在图3-28中，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.求证：ACOBDO.,举例,根据边角边定理,图3-28,像例1那样，从题目的条件(已知)出发，通过一步步地讲道理，得出它的结论成立，这个过程叫作证明.,证明的每一步都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是学过的定理、公理和定义（关于定义、公理和定理的概念将在九年级上册介绍）.,证明一般有以下几个步骤：,根据题意画出图形，写出已知条件和求证，然后证明.,如图3-29，在ABC中，ABAC，且AB=AC，点E
3、在AC上，点D在BA的延长线上，AD=AE.证明：ADCAEB.,证明：因为ABAC，所以EAB=EAD=90，又因为AB=AC.AD=AE，所以ADC AEB.(SAS),图3-29,例2 在图3-30，正在修建的某高速公路要通过一座大 山，现要从这座山中挖一条隧道，为了预算修这 条隧道的长度，即这座山A，B两处的距离，你 能想出一个办法，测出AB的长度吗？,举例,图3-30,图3-30,在AOB和 中，因为，(对顶角相等)OB=OB，所以.（SAS）于是得.(全等三角形对应边相等)因此 的长度就是这座大山A处与B处的距离.,O,你还能想出其它方案，来测A，B之间的距离吗？,图3-30,两位
4、同学在白纸上分别画一个ABC，使，AB=3cm，AC=2.5cm，结果他们最后画出来的ABC如图3-31中的(a)、(b)所示，问：它们全等吗？由此你能得出什么结论？,答：不全等.由此可以得出：两 边及其中一边的对角对应 相等的两个三角形不一定 全等.,1.在图3-32中，已知AD/BC，AD=BC.那么ADC和CBA是全等三角形吗？,图3-32,2.在图3-33中，已知AB=AC，其中E，F分别是AC，AB的中点.小明说：“线段BE和CF相等.”你认为他说的对吗？,图3-32,如图3-34，在ABC和 中，BC=，B=B，C=C，你能通过平移、旋转和轴反射使 的像与ABC重合吗？ABC与 全
5、等吗？,角边角定理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”).,例3 如图3-35所示，小强测量河宽AB时，从河岸的A 点沿着和AB垂直的方向走到C，并在AC的中点E 立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方向走 到D，使D，E，B恰好在一直线上.于是小强说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？,举例,图3-35,B,E,C,D,图3-30,举例,图3-36,例4 如图3-36中，已知ABC，CF，分别是ACB和 的角平分线.求证：.,你能在小括号内写出这两个三角形全等的理由吗？,ASA,从例4中，你能得出什么样的结论？,全等三角形对应角的角平分线相
6、等.,在图3-37，观察下面的三角形.小强说：“图中有两个三角形全等.”你认为小强的判断对吗？请说明理由.,图3-37,如图3-38，在ABC和 中，BC=，A=A，B=B.那么ABC和 是全等三角形？,图3-38,在ABC和 中，所以A=A，B=B，由三角形内角和性质可得C=C.又因为，B=B，由“角边角”判定定理则有,角角边定理 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”).,举例,例5 如图3-39中，已知BE/DF，B=D，AE=CF.求证：ADFCBE.,图3-39,所以1=2.(),因为 AE=CF，,即 AF=CE.,在ADF和CBE中，因为
7、D=B，1=2，AF=CE，所以ADFCBE.（）,两直线平行，内错角相等.,所以AE+EF=CF+FE，,AAS,两直线平行，内错角相等,举例,图3-40,例6 如图3-40中，已知ABC，BE，分别是对应边AC和 边上的高.求证：BE=.,图3-40,从例6中，你可以得出什么的结论呢？,全等三角形对应边上的高相等.,1.在图3-41，已知1=2，AD=AE.观察该图，找出图中：,（1）所有的全等三角形；,（2）所有相等的线段和相等的角.,答:ACD与ABE，BOD与COE.,答:线段AB与AC，AD与AE，BO与CO，BD与CE，DO与EO，DC与EB相等.1=2，D=E，BOD=COE，
8、DBO=ECO.,图3-41,2.等腰三角形两腰上的高相等吗？为什么？,答:相等，因为在ABC中，AB=AC，BDAC，CEAB，所以1=2=90.又因为A=A，所以ADB AEC(AAS).所以BD=CE.即等腰三角形两腰上的高相等.,如图3-42，在ABC和 中，如果，那么ABC与 全等吗？,图3-42,如果能够说明A=A，那么就可以用“边角边”定理得出ABC.为此，可将 经过平移、旋转和轴反射，使 的像与BC重合(并使A的像与A在BC的两旁)，连结，得到图3-43.,你能在括号内填出理由吗？,图3-43,因为，所以1=2，3=4.()从而1+3=2+4，(等量加等量其和相等)即 BAC=
9、.在ABC和 中，因为，BAC=，所以ABC.（SAS）,等腰三角形的两个底角相等,边边边定理 有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”).,由“边边边”判定定理可知，只要三角形的三边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就固定了，三角形的这个性质叫作三角形的稳定性.,三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用.,如路灯的支架、屋顶的人字梁等都采用三角形结构，其道理就是运用三角形的稳定性.,1.你能举出一些在生活中运用三角形稳定性的实例吗？,人字梯、照相三脚支架.,某些铁塔、电线杆、自行车.,2.观察日常生活中常见的伸缩铁门，可以发现它们 都是由一个个的菱形或者平行四边形连接
10、而成 的，如果都换成三角形行不行呢？,不行，因为伸缩铁门应用了平行四边形或菱形易变形的特征.,举例,例7 如图3-44，已知AB=DC，AD=BC.求证：B=D.,SSS,小括号内应填什么理由呢？,图3-44,1.右图是工人师傅常用的人字梯.为了保证师傅在人字梯上工作的安全，人字梯的两脚不能滑动.你能想个办法使人字梯两脚不滑动吗？,答:用图中的铁钩，钩住人字梯的另一边.,2.如图3-45，已知AD=BE，AE=BD.那么1和2相等吗？,图3-45,答：相等.因为 AD=BE，BD=AE，AB公共，所以ABDBAE(SSS).所以1=2(全等三角形对应角相等).,例1,如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O，（1）图中有多少对全等三角形，请把它们都写出来.（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明.,例2,如图，A，B，C，D在同一直线上，AB=CD，DEAF，若要使ACFDBE，则还需补充一个条件.,E=F 或AF=DE 或EBD=ACF，或BECF.,例3,如图，已知：ABCD中，E是AD边的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F.求证：DEFAEB.,结 束,
