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1、杜晓蓉金融工程系,第2章 个体的风险态度,一、风险态度,（一）问题的提出 经济行为主体对待风险的态度存在着差异。一些人爱好风险，一些人觉得风险无所谓，一些人则是风险厌恶者。例如:有一个掷硬币的赌局，正面朝上可以赢2000元，反面朝上1分钱也没有。现在入局费为多少，才能使这场赌博为一场公平的赌博？,（二）公平博彩（fair game)公平博彩:不改变个体当前期望收益的赌局，如一个博彩的随机收益为，其期望收益为，我们就称其为公平博彩。注：既然是博彩，通常隐含地假设其收益的方差大于零，即其收益不会是确定值零。或者公平博彩是指一个博彩结果的预期收益只应当和入局费相等的博彩。,一、风险态度,一、风险态度
2、,假定一个公平博彩有两种可能的结果，以p的概率获得正的收益z1，或者以（1p）的概率获得负的收益z2。由于是一个公平的博彩，所以：因此所谓公平赌博：某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，那么此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。或公平的赌博得结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等。,思考：有这样一个赌局：抛一次硬币，正面朝上你能得到200元，否则你什么都得不到。如果参加的本金分别为100，50，0，判断是否为公平博彩？,一、风险态度,一、风险态度,（三）风险态度的描述 对于一个具有效用函数u(x)，初始财富为 的经济行为主体，如果他不参加博彩行为，那么他的消费效用值为。
3、如果他参加博彩，则他有p的概率获得，（1p）的概率获得。这样他的期望效用值为：,比较投资者对二者之间的态度，可以判断投资者的风险态度,确定性等价,一、风险态度,1、风险厌恶(risk aversion)如果一个经济行为主体不愿意接受这样的公平博彩，我们把他称为风险厌恶者，对于一个风险厌恶者来说，我们有：即：,一、风险态度,这一特性意味着风险厌恶的经济行为主体的效用函数是一个凹函数：uE(W)Eu(W)定义：对于函数u()，如果 和，则我们称u()为凹的。,思考：效用函数为凹的经济含义？u()：消费的直接效用u()：消费的边际效用 偏好的单调性要求u()0u()：消费边际效用的边际效用(风险态度
4、）偏好的凸性要求u()0,一、风险态度,个体风险厌恶：个体不愿意接受或至多无差异于任何公平的赌博。个体严格风险厌恶：个体不乐意接受任何公平的赌博 定理 效用函数的凹性对应着个体风险厌恶；效用函数的严格凹性对应着个体严格风险厌恶。,一、风险态度,U(x),一、风险态度,2、风险偏好（risk preference）如果一个经济行为主体愿意接受这样的公平博彩，我们把他称为风险爱好者，对于一个风险爱好者来说，我们有：即：这一特性意味着风险爱好者的效用函数是一个凸函数:uE(W)Eu(W),一、风险态度,问题：“风险偏好就是愿冒大险而获得较小的收益”。这一说法正确吗？,一、风险态度,3、风险中性（ri
5、sk neutral）如果一个经济行为主体认为是否接受这样的公平博彩，没有什么区别，我们把他称为风险中性者，对于一个风险中性者来说，我们可以有：即：这类决策者的效用函数是直线：u(E(W)=E(u(W)。,三种风险态度的效用函数图示：,一、风险态度,练习题：如果某投资者期望效用函数u（x)是连续单调函数，曲线上有三个点：a1=10元，a2=4元，a3=-2。对应纵坐标为：u(a1)=u(10)=1 u(a2)=u(4)=0.6 u(a3)=u(-2)=0 请问该投资者是怎样的风险态度？,一、风险态度,就是比较u（1/2（a1+a3）和u（a1）/2+u（a3）/2的大小：a2=4=（a1+a3
6、）/2=（10-2）/2=4 u（a1+a3）/2）=u（a2）=u（4）=0.6 u（a1）/2+u（a3）/2=1/2+0/2=0.5 所以：u（1/2（a1+a3）u（a1）/2+u（a3）/2 可以判断：预期效用函数u（x)是凹函数，该投资者是风险厌恶的。如果三个点是：u(10)=1；u(4)=0.4；u（-2）=0.2 那么该投资者又是怎样的风险态度？,二、风险厌恶的度量,（一）Markowtz风险溢价 1、风险溢价（risk premium）定义：风险溢价是一个经济行为主体因承受风险而获得的收益补偿。或让一个经济行为主体避免承担风险而愿意放弃的投资收益。风险溢价=风险证券的预期收益
7、率-无风险证券的收益率=博彩行为的预期价值-确定性等价收益,二、风险厌恶的度量,2、确定性等价（certainty equivalent）如果找到一个确定性情况下的利润水平，该利润与有风险情况下的预期效应没有差异。决策者可以用这个确定性的利润替代风险情况下的预期利润，以此来对决策效果进行判断，并根据决策标准选择最优的决策。例如：给定风险水平，预期利润是500元。决策者认为该利润与无风险时的300元是无差异的。300元的无风险利润就是有风险的500元预期利润的确定性等价,定义：如果个体为回避一项公平博彩而愿意放弃的收益为，则我们有：这里，为公平博彩的随机收益（即报酬的微小增量），w为初始禀赋，被
8、称之为马科维兹风险溢价（Markowitz risk premium）。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。为确定性等价收益。即确定性等价为决策者对于一项博彩行为的支付意愿，实际上就是风险中性者对一项博彩行为的期望值。,二、风险厌恶的度量,对于风险厌恶者，CEE(g)风险溢价是负的；对于风险中性者，CE=E(g)风险溢价等于零。,二、风险厌恶的度量,二、风险厌恶的度量,对于一个概率分布F的不确定性收益的确定性等价 CE 可以通过下式求得：风险溢价则可以表示为：,期望效用,预期收益,二、风险厌恶的度量,例子：某彩票有赢或输两种可能性，赢则获得900元，概率为0.2；输则获得100元，概率为0
9、.8。消费者的效用函数形式为：。问消费者愿意花多少钱去购买？风险溢价为多少？解：u（CE）=0.2u(900)+0.8u(100)即：确定性等价为：CE=196元,因此他对该彩票的最高出价为196元。风险溢价为：,二、风险厌恶的度量,注：1、u（CE）=u（196）=0.2u(900)+0.8u(100)，说明什么？对该投资者而言，下面两个偏好无差异或效用相等，即两个选择等价：确定选择：100%获得196元；不确定选择：20%获得900元+80%获得100元 2、如果计算得出的CE恰好等于260，那么投资者是哪种风险态度？如果 因此该投资者是风险中性,二、风险厌恶的度量,3、确定性等价和风险溢
10、价由什么决定？两者都由投资者的效用函数决定，风险厌恶；，风险中性；，风险偏好。,二、风险厌恶的度量,练习题1：假定某投资者效用函数为u（w)=ln(w)。他想购买一只股票，预计净赚h元和亏h元的可能性各占50%，投资者的初始禀赋为w。求该项投资的CE，判断是否投资。解：因此该投资者是风险厌恶的，将放弃这个投资,二、风险厌恶的度量,练习题2：考虑一个投资者购买保险的问题。假定他的效用函数为u(w)=w0.5。其初始禀赋为w0=90000元，一旦发生火灾其损失为h=80000元，发生火灾的概率为a=5%。求投资者愿意支付的保险价格R，以及保险公司支付赔付时能获得的期望利润。解：投资者有两个选择：确
11、定性：90000-R 不确定性：95%*90000+5%*10000 u(w0-R)=95%*900000.5+5%*100000.5(90000-R)0.5=95%*900000.5+5%*100000.5 R=5900元,二、风险厌恶的度量,保险公司在投资者支付保费时赔付金额的期望值为：ah=0.05*80000=4000元 所以保险公司的预期利润为：5900-4000=1900元 实际上还是求确定性等价CE的问题,二、风险厌恶的度量,对现实现象的解释1：名牌效应 名牌产品：质量好意味着消费者购买该产品后预期收益大，性能稳定和售后服务好又意味着消费者购买该产品后面临的风险小，因而保险费较低
12、。对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由于不知名而让消费者感到购买它具有较高的风险，因而风险金（风险溢价）较高。这说明购买非名牌产品之行为的确定性等价的价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较高的价格。这就是所谓的名牌效应。,对现实现象的解释2：实行处罚制度，预防不法行为 社会治安应该以预防为主，而实行处罚制度是预防不法行为的有效途径，可为社会节约大量的管理成本。那么，处罚金定为多少才合适呢？一般来说，人们越是厌恶风险，处罚金也就越低。设Law为某一法律规定。假定经济人违反Law时，自己可得到价值 元的非法收入。社会需要定出一个处罚金标准，并要确
13、定出违法者被抓获的概率，使得按照这个处罚标准 和这个抓获违法者的可能性，就可阻止不法行为的发生。,二、风险厌恶的度量,二、风险厌恶的度量,用A表示违反Law的非法行为，B表示不违反Law的合法行为。非法行为带有风险，合法行为没有风险。采取非法行为A的非法收益为 元，被抓获处以 元罚款的概率为。因此,非法行为A的非法预期收益为：A的非法预期效用为：当然，合法行为B的非法预期收益 和非法预期效用 都为零。,二、风险厌恶的度量,只有当时，经济人才会去违反Law，因为这时尽管违法有可能被逮住并处以 元罚款，但仍然能够获得比合法行为更多的满足。可见，确定 和 的原则应是，即：对于风险厌恶者及风险中立者来
14、说，所以，只要 和 使,即，就能保证，从而保证风险厌恶者和中立者都不去违法。我们当中绝大多数人都是风险的厌恶者或中立者，可见只要处罚金定得不低于，就能有效地预防违反Law事件的发生。,二、风险厌恶的度量,（二）Arrow-Pratt度量 定义 一个参与者参与公平博彩所要求的风险溢价为，定义为：即 其中，为现有财富水平；是随机变量，是对博彩结果的描述；是风险溢价。,二、风险厌恶的度量,对上式左右两侧分别作泰勒级数展开:其中 表示 的高阶无穷小,二、风险厌恶的度量,整理得到 上式的右边由两个部分构成：是体现 个体偏好的因素，而 则是公平博彩随机收益的方差，体现不确定性风险。等式左边即风险溢价的大小
15、决定了代表性投资者的风险厌恶程度大小。对风险溢价的新解释：对于小风险而言，方差是风险大小的衡量。风险溢价与风险大小成正比，而比例系数反映了投资者的风险厌恶程度。,注：该式0,二、风险厌恶的度量,1、风险厌恶的Arrow-Pratt度量 考虑每单位绝对风险的风险溢价，定义绝对风险厌恶（Arrow-Pratt absolute aversion）：用来判断当个体在风险资产与无风险资产之间进行选择时，是否能像对待正常商品一样对待有风险资产,二、风险厌恶的度量,绝对风险厌恶定义了不确定性收益与初始财富无关时候的厌恶大小：递减绝对风险厌恶(decreasing absolute risk aversio
16、n,DARA)：Ra 0。即随着财富水平的提高，投资者要求的风险溢价逐渐增加，确定性等价逐步下降，厌恶加深；不变绝对风险厌恶(constant absolute risk aversion,CARA)：Ra=0。风险厌恶程度没有随着财富水平的变化而变化。,定理 阿罗-普拉特定理:对于递减绝对风险厌恶者来说，随着个人财富的增长，他对风险资产的投资也就越大（视风险资产为正常品）；对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的增加，他对风险资产投资反而减少（视风险资产为劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富无关。,二、风险厌恶的度量,2、风险容忍系数（risk tolerance）定义:阿罗
17、-普拉特绝对风险厌恶系数的倒数为个体的风险容忍系数（risk tolerance），即 T（W）越大表示个体能够容忍的风险越大，反之则相反。,二、风险厌恶的度量,二、风险厌恶的度量,3、相对风险厌恶（relative risk aversion)考虑投资者的风险态度可能与其总财富也有关系，定义相对风险厌恶为：,二、风险厌恶的度量,证明：对于考虑总财富为基数的赌博和风险溢价，有令上式相等，并整理得到相对风险厌恶,二、风险厌恶的度量,即在绝对风险厌恶系数等式两边除以初始财富w有 其中：公平博彩相对收益的方差，：相对风险厌恶系数,二、风险厌恶的度量,递减相对风险厌恶（DRRA）：Rr0。即投资者的初
18、期财富增加1%时，投资者在风险资产上投资增加的百分比小于1%。,二、风险厌恶的度量,小结：绝对风险厌恶的概念适用于那些结果表现为现有财富水平绝对增加或减少的风险项目；如果风险项目是现有财富的一定百分比增加或减少，则使用相对风险厌恶,在微观金融分析中最常用的、表示风险厌恶特征的效用函数，基本上都属于双曲绝对风险厌恶（hyperbolic absolute risk aversion，HARA）或者线性风险容忍（linear risk tolerance LRT）函数族,三、风险厌恶的几个例子,三、风险厌恶的几个例子,1、线性或风险中性效用函数风险中性代表性投资者所具有的效用函数：风险中性投资者对
19、相同的预期支付给予同等风险评价,u(w)u(2)u(w)=w u(1)0 1 2 w,三、风险厌恶的几个例子,2、负指数效用函数(negative exponential utility)并且：负指数效用函数具有常绝对风险厌恶(CARA)的特征，而其相对风险厌恶则随着财富的增加而增加。,u(w)0 w u(w)=-e-w-1,三、风险厌恶的几个例子,3、幂指数效用函数(power utility)：幂指数效用函数具有常相对风险厌恶(CRRA)的特征，而绝对风险厌恶随着财富的增长而递减。,三、风险厌恶的几个例子,问题：幂指数效用函数形式的风险产品是正常品还是劣质品？负指数效用函数呢？,三、风险厌
20、恶的几个例子,4、二次效用函数（quadratic utility）：边际效用 必须大于零，因此：二次效用函数在定义域 0，1/a内呈现递增绝对风险厌恶，意味着投资者财富越多，他对风险越来越不能容忍。,二次效用函数的图形，当其定义域在0,1/a之间，即绝对风险厌恶递增区域时，该效用函数是均值方差分析的基础。,效用,财富,1/a,三、风险厌恶的几个例子,5、对数效用函数(logarithmatic utility)：相当于 时的幂指数效用函数的极限 对数效用函数也是常相对风险厌恶的效用函数，而绝对风险厌恶随着财富的增长而递减。,三、风险厌恶的几个例子,6、双曲线绝对风险厌恶的效用函数（HARA）
21、：,从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现线性关系，故此类效用函数被称为线性风险容忍效用函数族。在上式中，当 r1 时，个体的风险容忍系数随财富的增加而减少；当 r1 时，个体的风险容忍系数随财富的增加而增加。,三、风险厌恶的几个例子,另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为:为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对风险厌恶效用函数（HARA)。,三、风险厌恶的几个例子,三、风险厌恶的几个例子,(1)当时，可以得到线性效用函数：(2)当时，可以得到二次效用函数：,三、风险厌恶的几个例子,(3)当 且b=0时，可以得到负指数效用函数：(4)当 且b=0时，可以得到幂函数的效用函数：(5)当 且a=1,b=0时，可以得到对数函数的效用函数：,
